Fonction localement lipschitzienne

[MC91]

Bonsoir,

Dans un exercice, pour montrer que f(t,y) est lipschitzienne par rapport à la seconde variable, on a montré que sa dérivée par rapport à y est bornée par 0.
Par contre, mon prof m'a dit qu'on avait pas besoin de la borner en valeur absolue, comme dans le cas des fonctions à une variable ou l'on doit montrer que |f'(x)| ;) k. Je ne comprends pas pourquoi.

Merci pour vos réponses.

[Ben314]

Salut,
Bon, déjà, "Lipschitzienne par rapport à une variable", je suis pas sûr de voir ce que ça veut dire....
Je suppose que c'est |f(t,y1)-f(t,y_2)|<=k|y1-y2| (avec le même t dans les deux f ?)
Mais k, il a le droit de dépendre de t ou pas ?

et ça "Par contre, mon prof m'a dit qu'on avait pas besoin de la borner en valeur absolue", ben là, je vois franchement pas d'où ça peut sortir ni même à quoi ça peut se référer...

[MC91]

Salut,
Bon, déjà, "Lipschitzienne par rapport à une variable", je suis pas sûr de voir ce que ça veut dire....
Je suppose que c'est |f(t,y1)-f(t,y_2)|<=k|y1-y2| (avec le même t dans les deux f ?)
Mais k, il a le droit de dépendre de t ou pas ?

et ça "Par contre, mon prof m'a dit qu'on avait pas besoin de la borner en valeur absolue", ben là, je vois franchement pas d'où ça peut sortir ni même à quoi ça peut se référer...

Bonjour,

Merci pour cette réponse. C'est bien |f(t,y1)-f(t,y_2)|<=k|y1-y2|, le t est le même et le k est une constante qui ne dépend pas de t.
Ce que je voulais dire, c'est que pour montrer qu'une fonction d'une seule variable est lipschitzienne, on peut également montrer que sa dérivée est bornée en valeur absolue.
J'ai travaillé récemment avec les fonctions de deux variables, et pour démonter que f(t,y) est lipschitzienne par rapport à y, on bornait la dérivée de f par rapport à y, mais sans valeur absolue.

Je ne comprends pas pourquoi pour les fonctions à une variable, on borne en valeur absolue alors que dans le cas de deux variables, on borne sans valeur absolue.

Voilà, si ce n'est pas clair n'hésitez pas à me le dire.
Merci.

[Ben314]

Le T.A.F., il te dit que f(b)-f(a)=(b-a)f'(c) (avec les bonnes hypothèses).
Que tu ait une ou 36 variables, ça change rien, vu que tu dérive que par rapport à une seule.
Après, je voudrais bien savoir par quel miracle tu peut majorer la valeur absolue |f(b)-f(a)| sans avoir de |f'(c)| !!!
Tu est vraiment certain que ton "on ne majore pas f' en valeur absolue", c’est pas simplement qu'au lieu de dire que |f'(c)|<=1/2 vous écrivez -1/2<=f'(c)<=1/2 ?

Si ce n'est pas le cas, j'aimerais bien voir un exemple de la façon dont ton prof procédé sans avoir de minorant sur f'...

[MC91]

Le T.A.F., il te dit que f(b)-f(a)=(b-a)f'(c) (avec les bonnes hypothèses).
Que tu ait une ou 36 variables, ça change rien, vu que tu dérive que par rapport à une seule.
Après, je voudrais bien savoir par quel miracle tu peut majorer la valeur absolue |f(b)-f(a)| sans avoir de |f'(c)| !!!
Tu est vraiment certain que ton "on ne majore pas f' en valeur absolue", c’est pas simplement qu'au lieu de dire que |f'(c)|<=1/2 vous écrivez -1/2<=f'(c)<=1/2 ?

Si ce n'est pas le cas, j'aimerais bien voir un exemple de la façon dont ton prof procédé sans avoir de minorant sur f'...

Merci beaucoup pour cette réponse, ça me rassure car je pensais ne pas avoir compris!

L'exemple qu'il y a dans mon cours c'est f(t,y)= -y^3(t) - exp(t)
Quand on dérive par rapport à y on obtient -3y^2, et ensuite (c'est cette partie que je ne comprenais pas) on a borné -3y^2 par 0 car y^2 est toujours positif ou nul

Et on a conclut que la fonction est lipschitzienne par rapport à y avec une constante de Lipschitz égale à 0