Géométrie dans l'espace

[FloOo]

Bonjour j'ai un petit problème que je n'arrive pas a résoudre : On me donne trois points de l'espace : A(Xa, Ya, Za) B(Xb,.....) et C, qui forment un triangle.
Ce triangle définit un plan.
J'ai une droite non parallèle au plan, qui coupe donc le plan ABC en 1 point M.

La question est de savoir si M est dans le triangle ABC ou non...?

Une idée ?
Merci !

[Ben314]

Salut,
Utilise les coordonnées barycentriques...

P.S. Ta droite, tu la connait sous quelle forme (équations ? 2 points ? ...)

[FloOo]

Merci Ben pour ta réponse mais j'ai oublié de preciser dans mon post que je ne suis pas très fort en maths... En quoi vont m'aider les coordonnées barycentriques ?

[FloOo]

Je connais la droite sous la forme d'une equation

[Ben314]

La façon la plus simple (à mon sens) de définir le "dedans" d'un triangle par rapport au "dehors" est en terme de barycentre :
Tout point M du plan contenant le triangle (non dégénéré) ABC est barycentre de A, B et C affectés de coefficients a,b et c.
Le point M est "dans" le triangle ABC ssi a,b et c sont tout les trois de même signe (i.e. tout les trois positifs si on a pris le soin de préciser que a+b+c=1)

[Ben314]

Je connais la droite sous la forme d'une equation

Euhh...
En dimension 3, il faut deux équations (cartésiennes) pour définir une droite (ou bien trois équations paramétriques avec un seul paramètre)
Si tu n'as qu'une équation, cela correspond à un plan.

[FloOo]

Ah ouais d'accord, bien vu.... Je n'avais pas du tout pensé a ça !
Merci Ben je vais essayer.

Si vous avez d'autres idées n'hésitez pas !

[FloOo]

Non no j'ai bien 2 equations cartésiennes pour la droite

[fatal_error]

salut,

J'avais raisonné différemment, donc je soumets aussi une autre poss.
On a un triangle ABC.
On a l'angle
Si M est contenu dans le triangle ABC, alors on a l'angle
qui est compris entre 0 et

Code: Tout sélectionner

A ___C
| \
|  \
|  M
B

Ensuite, on fait pareil pour l'angle
Et si là encore M respecte l'inégalité, alors M appartient au triangle ABC.

Du coup, on cherche a calculer les angle, cqui se fait pas trop difficilement en utilisant

[FloOo]

ouais ouais ouais ! Bien vu aussi Fatal... Je vais tenter aussi ! Merci !

[Ben314]

Si tu as deux points D et E de ta droite et que D n'est pas dans le plan ABC, alors (A,B,C,D) est un "repère barycentrique" de l'espace (i.e. tout point de l'espace est barycentre de (A,?), (B,?), (C,?) et (D,?)

Aprés un peu de calculs, tu peut trouver des coordonnées barycentrique de E dans ce repère : E est barycentre de (A,a), (B,b), (C,c) et (D,d).

Les point de la droite (DE) sont alors les barycentre de (E,s) et (D,t) avec s et t réel quelconque de somme non nulle (on peut prendre s+t=1...)
En utilisant l'associativité des barycentres, les points de (DE) sont donc les barycentres de (A,at), (B,bt), (C,ct) et (D,dt+s) et un tel point est dans le plan (ABC) ssi le "poid" associé à D est nul.

Tu en déduit que le point d'intersection M de (DE) et du plan (ABC) est le barycentre de (A,a), (B,b), (C,c) et tu conclue.

[Ben314]

Si tu as les équations de la droite, alors le plus rapide est d'écrire que, si M est le point d'intersection de la droite et du plan (ABC) alors ce qui te donne les coordonnées de M en fonction de x et y.
Ensuite tu injecte ces coordonnées dans les équations de la droite (=> système de deux équations à deux inconnues) pour trouver x et y.
Le point M est dans le triangle ABC ssi x>0, y>0 et x+y<1 (à justifier)

[Doraki]

Si tu as deux équations F(x,y,z) = 0 et G(x,y,z) = 0 pour la droite,
ça te donne une "projection" M -> (xM = F(M), yM = G(M)) qui envoie la droite sur le point (0,0).

Tu peux projeter les trois points A,B,C sur A',B',C' qui est un triangle dans un plan, et le problème revient à vérifier que (0,0) est à l'intérieur du triangle A',B',C'.
C'est à dire si les angles (A'0B'), (A'0C'), et (C'0A') sont orientés dans le même sens.
C'est à dire si xAyB - yAxB ; xByC - yBxC ; et xCyA - yCxA sont tous de même signe.