Devoir Maison 1ere S

par **melan0109** » 28 Jan 2010, 13:28

Bonjour,

J'arrive sur la fin de mon devoir et une question me bloque.
j'ai réussi à montrer que Sn=(2/n)^3 * ( 1²+2²+....+(n-1)²)

Maintenant on me dit :
Notons que S(n-1)=1²+2²+3²+...+(n-1)². Déterminer un polynôme P de degré 3 que pour tout entier naturel i , P(i+1)-P(i)=i².

Merci d'avance pour votre aide.

par **Ben314** » 28 Jan 2010, 14:22

Salut,
A ton niveau, je ne vois à peu prés qu'une seule solution :
On écrite un polynôme quelconque de degrés 3 :
P(X)=aX^3+bX²+cX+d
puis on calcule P(i+1)-P(i) et on regarde à quelles conditions (sur a,b,c et d) le résultat que l'on trouve est bien égal à i² pour tout entier i.

P.S. Il y a plusieurs polynômes répondant à la question, mais on ne t'en demande qu'un seul...

par **melan0109** » 28 Jan 2010, 15:23

Je ne vois pas comment il faut s'y prendre en fait je ne vois pas comment on peut trouver le polynôme

par **Sylviel** » 28 Jan 2010, 15:31

As-tu calculé P(i+1)-P(i) comme indiqué par Ben314 ?

par **melan0109** » 28 Jan 2010, 16:19

Ba, si je ne me trompe pas, je dirais :

P(i+1)-P(i)=
a*(i+1)^3+b*(i+1)²+c*(i+1)+d-(a*i^3 + b*i²+c*i+d )
= a*(i+1)^3+b*(i+1)²+c*(i+1)-a*i^3 -b*i²-c*i
= a((i+1)^3-i^3)+b((i+1)²-i²) + c ((i+1)-i)
= a( 3i² +3i +1) +b(2i+1) + c

par **Sylviel** » 28 Jan 2010, 16:44

ok et maintenant tu veux écrire l'égalité P(i+1)-P(i) = i² qu'est-ce que cela te donne ?

par **melan0109** » 28 Jan 2010, 16:50

a( 3i² +3i +1) +b(2i+1) + c = i²

mais je ne vois pas quoi faire ensuite

par **Sylviel** » 28 Jan 2010, 16:52

tu as un polynome en i donc commence par l'écrire sous la forme Ai²+Bi+C = i². Que peux tu dire sur A, B et C ?

par **melan0109** » 28 Jan 2010, 17:42

a( 3i² +3i +1) +b(2i+1) + c = i²

3ai² + 2bi + c + 3ai + a + b = i²

Je ne vois pas quoi faire de plus.

par **Sylviel** » 28 Jan 2010, 18:25

déjà tu ne l'as pas mis sous la forme demandée !
je t'ai dit A*i²+B*i+C alors que tu as encore 2 i qui apparaisse et les termes constants ne sont pas rassemblés.

Par ailleurs si tu as Ai²+Bi+C=i² tu peux en déduire que A = 1, B=0 et C=0, non ?

par **melan0109** » 28 Jan 2010, 20:06

En fait on a :

3ai² + (2b +3a )i +3 + c + a + b = i²

Voila que faire désormais

par **Sylviel** » 28 Jan 2010, 20:14

Je te l'ai dit dans le post précédent...

tu as

A = 3a = 1
B = 2b+3a=0
C = a+b+c=0

P.S : je n'ai pas vérifié les calculs, juste le raisonnement.

Devoir Maison 1ere S

Devoir Maison 1ere S

Qui est en ligne