Dm maths, suite et complexes

[kumiko-san]

Bonjour, voici un dm de maths que j'ai à faire pour demain, j'ai fait les calculs mais après je ne sais pas comment démontrer, si vous pouviez m'aider, merci
On considère la suite (Un) définie pour tout entier n par (2n+1)/(n+2).
Montrer de trois façon que la suite (Un) est strictement croissante :
- avec la différence (Un+1)-(Un)
- avec le quotient ((Un+1)/(Un)
- avec la fonction f associée.

(Un+1)-(Un)= (2(n+1)+1/(n+1)+2)- (2n+1)/n+2
= (2n+2+1 / n+3) - (2n+1/n+2)
= (2n+3/ n+3) - (2n+1 / n+2)
= (2n²+4n+3n+6-2n²-6n-n-3)/(n²+2n+3n+6)
= 3/ (n²+5n+6) voilà ce que je trouve, puis-je dire que n²+5n+6 est positif pour tout entier n et donc que la suite est croissante? Mais suffit-il juste d'admettre ou faut-il le prouver?

((Un+1)/(Un)= (2n+2+1)/(n+3) * (n+2)/(2n+1)
= (2n²+4n+2n+4+n+2)/ (2n²+n+6n+3)
= (2n²+7n+6) / (2n²+7n+3) et si je fais:
Pour prouver que c'est supérieur à 1:
((Un+1)/(Un)= (2n+2+1)/(n+3) * (n+2)/(2n+1)
= (2n²+4n+2n+4+n+2)/ (2n²+n+6n+3)
= (2n²+7n+6) / (2n²+7n+3)
= (n(2n+7+6/n))/(n(2n+7+3/n)
= (2n + 7 + 6/n) * (1/2n + 1/7 + n/3) Je simplifie, 2n par 2n, 7 par 7 et n par n donc il me reste
= 6 * 1/3
= 6/ 3
= 2 > 1
est-ce bon?

Un = f(x) = (2x+1)/(x+2)
f'(x) = 3/ (x+2)² >0
donc je fais un tableau de signe avec f(x) strict croissante car f'(x) est du signe de 3 puisque (x+2)² >0 ?

Merci

[Sa Majesté]

(Un+1)-(Un)= (2(n+1)+1/(n+1)+2)- (2n+1)/n+2
= (2n+2+1 / n+3) - (2n+1/n+2)
= (2n+3/ n+3) - (2n+1 / n+2)
= (2n²+4n+3n+6-2n²-6n-n-3)/(n²+2n+3n+6)
= 3/ (n²+5n+6) voilà ce que je trouve, puis-je dire que n²+5n+6 est positif pour tout entier n et donc que la suite est croissante? Mais suffit-il juste d'admettre ou faut-il le prouver?

Il faut le prouver et c'est très simple si tu le laisses sous la forme (n+2)(n+3)
Il faut développer le numérateur mais pas le dénominateur

((Un+1)/(Un)= (2n+2+1)/(n+3) * (n+2)/(2n+1)
= (2n²+4n+2n+4+n+2)/ (2n²+n+6n+3)
= (2n²+7n+6) / (2n²+7n+3)

Tu peux conclure ici car (Un+1)/(Un) = 1 + 3/(2n²+7n+3)

et si je fais:
Pour prouver que c'est supérieur à 1:
((Un+1)/(Un)= (2n+2+1)/(n+3) * (n+2)/(2n+1)
= (2n²+4n+2n+4+n+2)/ (2n²+n+6n+3)
= (2n²+7n+6) / (2n²+7n+3)
= (n(2n+7+6/n))/(n(2n+7+3/n)
= (2n + 7 + 6/n) * (1/2n + 1/7 + n/3) Je simplifie, 2n par 2n, 7 par 7 et n par n donc il me reste
= 6 * 1/3
= 6/ 3
= 2 > 1
est-ce bon?

Horreur !

Un = f(x) = (2x+1)/(x+2)
f'(x) = 3/ (x+2)² >0
donc je fais un tableau de signe avec f(x) strict croissante car f'(x) est du signe de 3 puisque (x+2)² >0 ?

Oui
f est strictement croissante sur [0,+oo[
0 < n < n+1 donc
f(n) < f(n+1)
U(n) < U(n+1)