Dm suite adjacentes et récurrence

[manu2210]

Bonjour a tous voila j'ai été malade pendant un moment et je viens de retourner en cours. Cependant même en ayant rattraper les cours j'ai un dm de maths a faire que je n'arrive pas du tout donc si vous pouviez m'aider sur la méthode a utiliser cela serait vraiment sympa.

Soient a,b deux réels tels que 0On définit les suites (Un) et (Vn) par
U0=a , V0=b et pour tout n de N , U(n+1)= racine(UnVn) V(n+1)= (Un+Vn)/2
1)Montrer que ces suites sont strictement positives.
2) Calculer pour tout n de N, V(n+1)²-U(n+1)². En déduire que pour tout n de N Un<=Vn.
3) Déterminer le sens de variation de chaque suite.
4) On pose pour tout n de N Wn = Vn-Un. Prouver que pour tout n de N 0<=W(n+1)<= 1/2Wn puis montrer que pour tous n de N 0<=Wn<= (b-a)/2^n.
5) Montrer que (Un) et (Vn) sont adjacentes.
Leur limite commune l, qui ne peut pas être exprimée de façon simple en fonction de a et b, est appelée moyenne arithmético-géométrique de a et b.
6) Donner à l'aide de la calculatrice une valeur approchée à 10^-8 près de la moyenne arithmético-géométrique de 2et 8 et de celle de 1 et 10000.


Merci pour votre aide

[Ben314]

Salut,
Tu en est où dans le problème ?

[manu2210]

ben j'en suis pas très loin car pour le 1 je me demande si ce cela se fait par récurrence ou pas .

[manu2210]

est ce que par récurrence on peut dire que comme a et b sont positifs je trouve U(n+2) et je dis que tout est positif donc que pour tout n elles sont positives ?

[Ben314]

Vu que tes deux suites sont définies par récurrence (i.e. il faut connaitre Un et Vn pour calculer U(n+1) et V(n+1) ), il y a de forte chance que la plupart des preuves se fassent par récurrence.

Donc, la réponse est OUI : le 1) se démontre par récurrence...

[manu2210]

donc pr le 1) je fais par récurence ok cool.
par contre pour le petit 2) je n'arrive pas du tout a trouver un résultat cohérent
je l'ai refait plusieurs fois et cela ne me semble pas correcte.

[Ben314]

Que trouve tu pour V(n+1)²-U(n+1)² ?