Probabilité

[mikael03]

Bonjour à tous!

Mes années d'études commencent à être loin, et aujourd'hui je me retrouve confronté à un problème de probabilité, qui va surement paraitre simplissime pour certains!

Voici un exemple concret:
Dans un match de basketball, opposant l'équipe A et l'équipe B, je sais que l'équipe A gagne 30% de ses matchs, et que dans le même temps l'équipe B perd 75% des matchs.
Comment calculer la probabilité que l'équipe A va gagner son match contre l'équipe B?

Merci d'avance.

[miikou]

salut,

a priori le comportement de A et B sont independant

donc P(A inter B) = PA * PB

[lirabo]

En fait, il n'y a pas vraiment de réponse à cette question. Pas assez d'élément.

Par exemple, on peut considérer qu'on augmente la chance de B en constantant que si B gagne 75% de ses matchs sur un panel représentatif d'équipes, il a encore plus de chance de battre une équipe faible comme A. A l'extrème, Si le résultat des matchs est sans surprise (le plus fort bat toujours le plus faible) on a 100% de chances pour B.

Au contraire, il peut y avoir un effet "petit poucet" ou l'équipe faible se surpasse si l'écart est important.


La seule manière vraiment impartiale (c'est à dire sans faire de supposition au dela de l'énoncé) de résoudre ces problème est, selon moi, l'argument du maximum entropy qui permet de construire des lois de probabilité lorsqu'on n'a pas assez d'éléments pour les caractériser entièrement. C'est assez complexe.

Ca marche de la manière suivante :
Si on caractérise l'expérience par les 4 évenements :
A: l'équipe A joue le match
B: l'équipe B joue le match
C : A gagne le match
D : B gagne le match

on a les contraintes suivantes :
P(C/A et non B)=0.3
P(D/B et non A)=0.75
P(C/non A)=0
P(D/non B)=0


il s'agit alors de trouver la distribution de proba sur la variable jointe A + B + C + D de plus forte entropie et satisfaisant ces contraintes. Je n'ai pas fait le calcul.

Mais cette méthode ne tient pas compte de toute la connaissance confuse qu'une personne peut avoir du problème. Par exemple, si on remplace foot par bras de fer, on sent bien que A aura bcp moins de chance de battre B que pour le foot. Il y a donc tout un tas d'information inconsciente qui nous sert à juger intuitivement des chances de A et B. et en fait les maths ne nous apportent pas forcément beaucoup.

[wserdx]

Sans vouloir être provocateur, je dirais que ton problème est un peu de la même nature que le suivant :
Les joueurs de l'équipe A ont entre 25 et 30 ans, quel est l'âge du capitaine de l'équipe B?
C'est-à-dire que le "modèle" mathématique sous-jascent est trop pauvre pour pouvoir en déduire quelque chose d'utile.
Par exemple, si A gagne 30% de ses matches, c'est contre qui?
On pourrait imaginer une équipe C virtuelle idéale de référence, "moyenne", ni trop forte ni trop faible, mais je ne vois pas de moyen d'en déduire une loi qui donnerait la probabilité de gain de A contre B, connaissant la probabilité de gain de A contre C et de B contre C.
Intuitivement, je dirais que A est plus fort que B, mais sans plus.
Pour répondre à miikou, je dirais aussi qu'on peut effectivement considérer que les matches joués par A sont indépendants de ceux joués par B sauf justement dans le cas où A joue contre B!!!! auquel cas si A gagne, c'est qu'à coup sûr B a perdu!!! (je ne sais même pas si tu veux modéliser les matches nuls...)
En résumé, aurais-tu une idée plus précise d'un modèle mathématique cohérent?

[mikael03]

Tout d'abord merci pour ces réponses.

Effectivement vu comme ça, ça paraît bien compliqué... Autant le P(A)*P(B) de miikou, c'est dans mes cordes, autant le reste dépasse mes compétences...

En fait, le fond du problème est que je voulais comprendre (à peu près) comment un bookmaker applique ses côtes pour des résultats donnés. Je sais déjà, en fonction des côtes, calculer les probabilités que le bookmaker a estimé. (Toutes les statistiques des équipes se trouvent facilement sur le net (% de victoires, de défaites, de pts marqués, de pts encaissés, etc...))

Dans mon exemple du 1er message, j'ai naïvement calculer la moyenne P(A gagne à domicile) + P(B perd à l'extérieur), et à ma grande surprise, j'arrive presque à chaque fois à une probabilité identique à celle du bookmaker (à +/- 4%). Etrange...