Fonction

[dream22]

j'essaye de démontrer que l'équation 1+x+x²+x^3+....+x^(n-1)= x^n possède une unique solution sur ]0;+]

J'ai posé f(x)= 1+x+x²+x^3+....+x^(n-1)- x^n
f(0)=1 lim f= -x^n donc y'a au moins une solution

J'ai dérivé: 1+2x+3x²....+(n-1)x^(n-2) - nx^(n-1)
et je n'arrive pas à étudier le signe de la dérivé...

[Ben314]

Salut,
Peut être faudrait-il utiliser le fait que, pour différent de 1, on a :

[dream22]

Bonsoir,
merci pour répondre
mais j'ai essayé et je n'ai abouti à rien...

[Ben314]

Aprés un petit calcul, ton problème se ramène à la recherche des solutions différentes de 1 de l'équation .
Tu étudie les variations et... tu conclue.

[dream22]

ah d'accord je vais essayer de trouver cette expression

[dream22]

ah oui en faite il fallait bien utiliser cette expression
j'ai réussi à trouver f(x)= [(x^(n+1) -2x^n +1)/ (1-x)]

il me suffit donc d'étudier g(x)= x^(n+1)- 2x^n +1 comme tu l'as dit

g'(x)= (n+1)x^n -2nx^(n-1)

je me demande en fait si je ne peux pas faire un changement de variable en posant X=x^n mais est-ce que X² sera différent de x^(n+1)

[dream22]

ah en faite oui j'ai réussi à trouver à partir de l'expression que tu m'as donné.
f(x) = x^(n+1)- 2x^n +1
et f'(x)= x^(n-1) [ (n+1)x - 2n) ]
donc f' positive si x> (2n)/ (n+1)
f' négative si x< (2n)/ (n+1)
mais je ne trouve pas que la sute est monotone sur ]0,+infini[....

[Ben314]

On fixe et on considère
n'est pas solution de car donc on a :
et et
et
Si on pose alors donc la fonction est décroissante sur puis croissante sur .
En utilisant le fait que , que , que (ce qui prouve sans aucun calculs suplémentaires que ) et que on voit que la fonction admet un seul zéro distinct de sur l'intervalle (il y a aussi un unique zéro strictement négatif lorsque est pair)

Questions :
1) Si on note ce zéro, quelle est la nature de la suite (monotonie, limite) ?
2) Peut-on donner le comportement assymptotique de la suite ?

[alavacommejetepousse]

en divisant par x^n puisque 0 non solution

l'équation est h(x) = 1 avec h, continue strict décroissante de limite +00 en 0 et 0 en +00

[Ben314]

en divisant par x^n puisque 0 non solution l'équation est h(x) = 1 avec h, continue strict décroissante de limite +00 en 0 et 0 en +00

C'est effectivement NETTEMENT plus simple...

[dream22]

mais là ça signifie qu'il y a deux solutions sur ]0,+infini[: 1 et une autre
et cette autre solution va varier selon n d'où la question supplémentaire?

[Ben314]

Si tu regarde bien ce que j'ai écrit, la solution x=1 n'est pas une solution de l'équation (E) : il n'y a donc bien qu'une seule solution à (E) (et la méthode de alavacommejetepousse le montre bien plus rapidement)

Effectivement, les questions que je pose sont uniquement pour "ceux qui veulent aller plus loin".
La convergence de la suite est façile à obtenir, sa monotonie est assez facile, mais un peu plus astucieux, et la recherche du comportement assymptotique commence à demander un peu de travail...

[dream22]

ah oui c vrai
pour les questions en plus:
si on pose: fn(x)= x^(n+1)-2x^n+1
fn(x indice n)=0
f(n+1)(x indice n)= x^(n+2)-2x^(n+1)-1
= x(x^n+1-2x^n-1+1)-1
= x(fn(x indice n) +1)-1
=x-1
positive si x>1 et négative si x<1

donc f(n+1)(x indice n) > f(n)( x indice n) si x>1
non en faite je n'y arrive pas... Je peux avoir une piste?

[Ben314]

Tout ce que tu as écrit me semble parfaitement juste (et astucieux) pour montrer la croissance/décroissance de la suite .
Mais il faudrait commencer par du "plus simple" en trouvant un encadrement de (au vu du tableau de variation, c'est assez simple)...

[dream22]

d'après le tableau de variation, je trouve que x(indice n )> (2n)/(n+1)
donc en fait on obtient x(indice n )> 2 si on fait tendre n vers l'infini mais je ne vois pas par quoi majorée x(indice n ).

[Ben314]

...je ne vois pas par quoi majorée x(indice n ).

Quel est le signe de ?

[dream22]

fn(2)=1 donc fn(2) est positive
ah oui donc (2n)/(n+1) < xn < 2