DM de 1ere S

[Alice54]

(Petit oublie tout à l'heure :girl2:) Bonjour tout le monde, voilà l'énoncé de l'exercice :

Soit (O;i;j;k) un repère orthonormal de l'espace. On a les points : A(1;-7;6), B(5;5;2), D(0;7;1), E(1;7;1) et F(0;7;2)

1) Déterminer l'intersection de la droite (AB) et du cylindre (C) d'axe (Oy) et de rayon 5.

2) Déterminer l'intersection du plan (DEF), noté (P), et de la sphère (S) de centre I (0;0;1) et de rayon 7. Que représente (P) pour la sphère (S) ?

Ce que j'ai fait :

1) (C) a pour équation : x²+z²=r²=5²

(AB) <=> vec(AB) <=> (xB-xA ; yB-yA ; zB-zA)
<=> (5-1 ; 5+7 ; 2-6)
<=> (4 ; 12 ; -4)

donc je peux faire un système :
x=4
y=12
z=-4
x²+z²=5² <=> 4²+(-4)²=25 <=> 32=25

Ce qui est impossible donc S=;).

Le problème c'est quand je trace les éléments sur geospace on voit très nettement que (AB) traverse (C) et je ne vois pas où est-ce que je me trompe...

2) yD=yE=yF=7 donc (P) a pour équation : y=7

(S) a pour équation : x²+y²+z²=r²=7²

donc je peux faire le système :
y=7
x²+y²+z²=7² <=> x²+7²+z²=49 <=> x²+z²=0 <=> x=z=o

donc (P) coupe (S) en un point dont les coordonnées sont (0;7;0).

Et là, je ne vois pas ce que représente (P) pour (S)...

Merci d'avance :we:

[Black Jack]

1)

Tu écris les équations paramétriques de la droite (AB) :

x - 1 = 4t
y + 7 = 12t
z - 6 = -4t

Et tu résous le système formé par ces équations et celle du cylindre que tu as trouvé.

Les triplets (x ; y ; z) solutions de ce système sont les coordonnées des points d'intersection de la droite (AB) et du cylindre (C)

...

***********
2)
L'équation de ta sphère est fausse.

x² + y² + (z-1)² = 7²
...

:zen:

[Alice54]

Je ne comprends pas ce que "t" représente dans la question 1) et je ne vois pas comment trouver sa valeur... :triste:

Et dans la question 2) : on met z-1 parce que les coordonnées du centre I de (S) sont (0;0;1) ?

[maturin]

alors il faut que tu revois ton cours sur les équations de droite dans l'espace.
La plus courante est l'équation paramétrique.

En gros ton point M (x,y,z) appartient à ta droite (AB)
ssi il existe un réel t tel que AM=tAB (en vecteur)
soit en coordonnées:
(xM-xA)=t(xB-xA)
(yM-yA)=t(yB-yA)
(zM-zA)=t(zB-zA)
si tu remplace xM,yM,zM par x,y,z et les coordonnées de A et B par leur valeur tu vas retomber sur l'équation donnée par BlackJack

Dans ce que tu as fait tu as un peu tout mélangé.
(4,12,-4) sont les coordonnées de ton vecteur AB
le point de coordonnées (4,12,-4) est le point M telque OM=AB, ce point n'a rien à faire dans la démonstration.

Pour le 2 pour trouver l'équation de ta sphère tu dis que le point M(x,y,z) appartient à ta sphère si et seulemetn si la longueur IM=7
et IM²=(xM-xI)²+(yM-yI)²+(zM-zI)²
d'où le z-1

[Euler07]

En première S on ne voit pas les représentation paramétriques des droites

[Alice54]

D'accord Merci beaucoup. Mais oui, en effet, je crois que j'ai pas encore vu les équations paramétriques des droites... Donc, existe-t-il un autre moyen pour faire l'exercice ?

[Black Jack]

D'accord Merci beaucoup. Mais oui, en effet, je crois que j'ai pas encore vu les équations paramétriques des droites... Donc, existe-t-il un autre moyen pour faire l'exercice ?

Oui, au lieu des équations paramétriques de la droite, écris ses équations cartésiennes. ...

Et si tu ne les a pas non plus étudiées, alors c'est mal parti.

Il suffit d'écrire les équations de 2 plans quelconques mais différents qui passent par A et par B.

x + ay + cz + d = 0
passe par A(1;-7;6) --> 1 - 7a + 6c + d = 0
passe par B(5;5;2), ---> 5 + 5a + 2c + d = 0

A partir de ce système, on choisit librement 2 valeurs de a par exemple et on détermine les valeurs de c et d qui correspondent.

Exemple:

on impose (au hasard) a = 0 et on a le système:
1 + 6c + d = 0
5 + 2c + d = 0
--> c = 1 et d = -7
On arrive au plan d'équation : x + z - 7 = 0

on impose (au hasard) a = 1 et on a le système
... Essaie :
On arrive au plan d'équation : x + y + 4z - 18 = 0

Les équations cartésiennes de la droite (AB) sont :
x + y + 4z - 18 = 0
x + z - 7 = 0

:zen:

[Alice54]

On a parlé d'équation cartésienne mais pas pour les droites, juste pour les plans, les sphères, les cylindres et les cônes... ^^

J'essaie quand même :

Si a =1, on a le système :
1 - 7 + 6c + d = 0
5 + 5 + 2c + d = 0
--> c = 4 et d = -18

Et du coup, pour trouver l'intersection entre (AB) et (C) je vais avoir comme système :

x + y + 4z - 18 = 0
x + z - 7 = 0
x² + z² = 5²

c'est ça ?

[Black Jack]

On a parlé d'équation cartésienne mais pas pour les droites, juste pour les plans, les sphères, les cylindres et les cônes... ^^

J'essaie quand même :

Si a =1, on a le système :
1 - 7 + 6c + d = 0
5 + 5 + 2c + d = 0
--> c = 4 et d = -18

Et du coup, pour trouver l'intersection entre (AB) et (C) je vais avoir comme système :

x + y + 4z - 18 = 0
x + z - 7 = 0
x² + z² = 5²

c'est ça ?

Oui, c'est cela.

Il reste à trouver les 2 triplets (x , y , z) solutions du système.

Ce seront les coordonnées des 2 points de rencontre de la droite et de la sphère.

:zen:

[Alice54]

Merci :we: