Résolution d'équation de tangentes à une courbe

[eurikain]

Bonjour à tous, désolé pour le titre qui n'est pas très clair mais mon problème est un peu compliqué à décrire en une seule ligne.

Alors voilà, je suis en Terminale S. On nous a donné un exercice d'entraînement pour préparer un contrôle.

C'est un exercice qui nous fait travailler le TVI (théorème des valeurs intermédiaires), la dérivation, les limites etc.
Dans la partie C) de l'exercice, on nous demande :
1) Déterminer l'abscisse des points de la courbe Cf où la tangente est parallèle à la droite d'équation y= x+2.
2) Déterminer une équation de chacun de ces tangentes.
3) En déduire graphiquement, suivant les valeurs de m, le nombre de solution de l'équation :
f(x) = x + m.

Alors la fonction en question est : f(x) = (x³+2x²) / (x²-1)
et on a f'(x) = (x(x³-3x-4))/((x²-1)²).
[Désolé pour les écritures un peu difficiles à lire pour les fonctions, mais j'ia pas d'éditeur de fonction...]

Donc voilà, je pensais au début calculer f(x)-T(x) avec t(x) = x+2 qui ets l'asymptote oblique en + et - l'infini.
En gros ça donnait :
(x+2)/(x²-1) (on a calculé dans la partie B) f(x) - t(x).
Donc si je réfléchi, bah je dois calculer une équation de tangente.
C'est y=f'(a)*(x-a) + f(a) et a est un réel. Donc je me disais, bah, pour que la tangent soit parallèle à T(x), il faut simplement que elle soit de la forme x+a car peut importe a, le coefficient directeur de la tangente devra être 1 donc x pour que celle-ci soit parallèle à T(x).

Donc en gros je suis arrivé a essayer de résoudre tangeante = x+a...
ce qui me donne : "un résultat complètement dingue avec des a et des exposants partout que même ma TI-89 peut pas résoudre"...

Donc voilà, SVP pouvez-vous m'aider ?

Merci d'avance !

[mathelot]

Bj,

deux droites non verticales sont parallèles ssi elles ont même
coefficient directeur

résouds l'équation f '(x)=1 d'inconnue x.

Il me semble qu'elle est bicarrée. si oui,
quand tu es rendu à chercher les racines d'un polynôme, pose

[eurikain]

Ah oui !! Le nombre dérivé est le déficient de la tangente c'est ça ?
Ok ! Je vais essayer. Je remets un message dès que j'ai trouvé.

[eurikain]

Alors voilà, donc j'ai essayé, ça me donne :
f'(x)=1 (=) f'(x)-1=0
Ce qui donne au final : (-x²-4x-1)/((x²-1)²) = 0
J'ai étudié le signe de -x²-4x-1. Deux racines (delta = 12).
Donc en gros je fais le tableua de signes, et j'ai deux solutions :
S=( -2-racine(3) ; -2+racie(3) ).
Donc j'ai les deux abscisses de la question 1).
Par contre pour la deux, bah je calcule les deux tangentes :
T1 : y=f'(a)*(x-a) + f(a) = x + (racine(3)+2)/2
T2 : y= x + 0 = x

Pour T2, quand ej la trace ça passe, mais quand je trace T1, oula elle est pas normalement placée,
enfin je veu dire elle se situe juste en dessous de T.
Donc là y a un soucis...
Vous pouvez m'éclairer ?
Et je comprend pas la question 3...

EDIT : je me susi trompé à la tangente T2, je crois que c'est plutôt x-(racine(3)-2)/2...

Rohlala je suis perdu moi..

[eurikain]

Je up un peu ? Euh mais est-ce que sur ce forum on peut up ? je sais pas.. :/

[mathelot]

Bs,

la tangente correspond à une racine double
de l'équation

x+m=f(x)

d'inconnue x.

Une racine double , c'est par exemple
1 annule deux facteurs du produit. Métaphoriquement, on écrit que 1
est racine double et que son ordre de multiplicité est 2.

on montre que si x est racine double de
x+m=f(x)
alors x est racine simple de
(x+m)'=1=f '(x) [abus de notation]

La position "etre droite tangente" est un cas intermédiaire entre
"être une corde, droite sécante à une courbe en deux points"
et
"ne pas intersecter la courbe" (0 points d'intersection)

Ces distinctions sont "locales": ça signifie qu'une droite
peut très bien être tangente à la courbe représentative de f en un point
d'abscisse (x_0 racine double)
et être sécante ailleurs à cette courbe en un point d'abscisse

ce qui se produirait avec une équation produit-nul de la forme

tangente en x=1 et sécante en x=5.

Noter aussi que les asymptotes sont considérées comme des droites
rencontrant la courbe à l'infini.