Démonstration en algèbre

[mathieu444]

Bonjour, je dois démontrer ceci:

Soit V un ensemble de vecteurs d'un espace E, montrer que si vecteur nul V, alors V est un ensemble de vecteurs linéairement dépendants.

Quelqu'un pourrait-il m'enligner sur la façon de commencer cette démonstration?

Est-ce que je peux dire

Poson V l'ensemble de vecteurs {0 (V nul), c1v1, c2v2... cnvn} et c1, c2... cn des scalaires éléments de IR.

(les 0 sont des vecteurs nuls à partir de maintenant):


0 + c1v1 + c2v2.... + cnvn = 0
(par hypothèse)

c1v1 + c2v2 + .... +cnvn - 0 = 0 - 0
(soustraction du vecteur nul à gauche et à droite de l'équation

c1v1 + c2v2 + .... +cnvn = 0
(car le vecteur nul est neutre dans l'addition ou la soustraction vectorielle)

Si c1, c2...cn sont égaux à zéro, v1, v2...vn seront des vecteurs nuls, car la multiplication d'un vecteur par zéro donne un vecteur nul. Tel que:

0v1 + 0v2 + ... + 0vn = 0

0 + 0 + ... + 0 = 0
(la multiplication d'un vecteur par zéro donne un vecteur nul)

Par définition, si un vecteur dans un ensemble peut être combinaison linéaire d'autres vecteurs de l'ensemble, alors les vecteurs de cet ensemble sont linéairement dépendants, de sorte que si le vecteur nul fait parti de l'ensemble V, les vecteurs de cet ensemble seront linéairement dépendants.


Bon, je croyais avoir besoin d'aide car je suis vraiment mais vraiment nul en démonstration, mais finalement en postant ce message j'ai décidé d'essayer de la faire et je suis arrivé, je crois, à quelque chose de pas si mal. Est-ce que quelqu'un pourrait me dire si j'ai tout faux, s'il y a des choses à modifier ou bien à ajouter? C'est pour un travail qui comptera pour 2% de mon cours, je sais qu'il est interdit de donner des réponses, mais est-ce qu'il est interdit de corriger et de donner des commentaires?? Merci d'avance si vous voulez bien m'aider

[Alpha]

Bonsoir,

L'exercice demandait, me semble-t-il, de remarquer que si ton ensemble V contient le vecteur nul, alors le vecteur nul 0 vérifie par exemple l'égalité :

0 = 0*v1 (où v1 est un vecteur de V non nul, et le 0 du membre de droite représente le scalaire 0, tandis que dans le membre de gauche il s'agit du vecteur 0).

Ce qui prouve le résultat élémentaire que si une famille contient le vecteur nul, elle ne peut être libre. Et tu vois que la démonstration est on ne peut plus courte (ce qui n'empêche pas la tienne, basée sur le même principe, d'être juste).

Par contre, pour ta démonstration, plutôt que de passer par les c1, ..., cn, écris directement que

1*0 + 0*v1 + ... + 0*vn = 0.

Et c'est pas :

Si c1, c2...cn sont égaux à zéro, v1, v2...vn seront des vecteurs nuls, car la multiplication d'un vecteur par zéro donne un vecteur nul.

mais :

Si c1, c2...cn sont égaux à zéro, c1v1, c2v2, ..., cnvn seront des vecteurs nuls, car la multiplication d'un vecteur par zéro donne un vecteur nul.

(et on peut se passer de cette justification)

[mathieu444]

Super, merci beaucoup :)