Dénombrement

[Watchmen]

Bonjour,
Je bloque sur un exercice dont je ne comprend pas vraiment l'énoncé et le but.
On se donne un entier naturel n superieur ou égal à 2. On veut former des mots avec un alphabet de n lettres sans qu'un mot contienne deux fois la même lettre. On note Mn le nombre total de ces mots. On va établir que Mn = E(e*n!)-1 où E désigne la partie entière.

On note Mn,p le nombre de mots à p lettres ne contenant pas deux fois la même lettre. Que vaut Mn,p si n>p ?

[Nightmare]

Salut !

On a n choix pour la première, combien pour la deuxième ? combien pour la 3ème ? etc... jusqu'à la combien-ème ?

[Watchmen]

Re.
Pour la deuxième n-1, pour la troisième n-3, pour la n-ième aucun.

[euler21]

Bonjour
Je pense plutôt que pour la énième lettre il te reste une seule possibilité. s'il n'y en avait aucune le nombre de possibilité serait nul.

[Nightmare]

Il n'y a pas de n-ème lettre, il y a p lettres et p est plus petit que n !

[Watchmen]

Donc Mn,p = n+(n-1)+...+(n-p) si n>p

[euler21]

non c'est plutôt un produit que tu as pas une somme.

[Watchmen]

Mn,p = n(n-1)(n-2)*(n-p), ça vaut quoi explicitement ?

[euler21]

explicitement, Mn,p= (n!)/(n-p+1)!.
Bien sûr avec la convention 0!=1

[Watchmen]

A démontrer cette formule ?
Maintenant je dois passer à n;)p.

[euler21]

pour la formule c'est une application immédiate de la définition même du factoriel. pour l'autre cas sépare n=p et n

[Watchmen]

Bah déjà pour n = p, Mn,p = 1 pour l'autre cas je ne vois pas comment il faut faire.

[euler21]

Attention pour le cas n=p. Prends l'exemple où n=2 et que ton alphabet est par exemple c'est {a,b}. L'ensemble de possibilité c'est le mot ab , et aussi le mot ba. et donc 2 possibilités au lieu d'une seule...

[Watchmen]

Ok. Donc c'est factorielle n.
p>n je n'ai toujours pas d'idées.

[euler21]

commence par évaluer le nombre d'alphabets qui "te reste" pour remplir la lettre n+1

[Watchmen]

J'ai mieux, Mn = n!*(1/1! + 1/2! + ... + 1/n!) - 1 ?