Geometrie Inversion polaire

[elie]

Boujour ,
Je voudrais savoir comment construire l'invderse d'1 point, d'une droite, et d'un cercle par une inversion de pôle O et de rapport lamda par exemple...
J'ai beau chercher je ne sais pas :mur: , je sais neanmois que si le centre de l'inversion est sur le cercle ca donne une droite sinon un cercle, heu je crois bien que C ca.. Est ce que ca a un rapport evec le birraport et le theoreme du quadrilatere complet??
Merci

[becirj]

Bonsoir

Quelques souvenirs

L'inversion de pôle O et de rapport associe à tout point P différent de O le point P' de la droite (OP) vérifiant

Dans le cas où , si on considère le cercle C de centre O de rayon k, il est invariant point par point, il est appelé cercle d'inversion.

Pour construire l'image d'un point P différent de O, intérieur au C, on considère la corde [TU] perpendiculaire à (OP) en P, l'image de P par l'inversion est le point P' point d'intersection des tangentes au cercle C en T et U (ça se démontre avec des triangles semblables)

Inversement pour construire l'image d'un point P extérieur au cercle, on costruit le cercle de diamètre [OP], il coupe le cercle C en 2 points T et U, le point P' est l'intersection de [TU] et de (OP).

L'inverse d'une droite qui passe par O (O exclu) est la droite elle-même.
L'inverse d'une droite D ne passant pas par O est un cercle passant par O (O exclu) et le diamètre de ce cercle passant par O est perpendiculaire à D.
Réciproquement, linverse d'un cercle passant par O (O exclu) est une droite perpendiculaire au diamètre passant par O.

L'inverse d'un cercle ne passant pas par O est un cercle ne passant pas par O

L'inversion conserve le rapport anharmonique de 4 points, c'est-à-dire si on a 4 points A,B,C,D d'images respectives A', B', C', D', on a l'égalité :


On peut ajouter au plan euclidien un point à l'infini défini comme étant l'inverse du centre de tout cercle d'inversion. Ce plan complété s'appelle plan d'inversion, une droite est alors considérée comme un cercle passant par , cela permet d'avoir des théorèmes plus généraux.

[elie]

merci beaucoup pour cette reponse bien complete et rapide, c'est tres gentil d'autant plus que mon examen est demain matin.
:we:

[yos]

On peut aussi travailler avec un repère d'origine O : les formules analytiques sont faciles à obtenir :


Ou encore avec des complexes : .

C'est pratique pour chercher des images d'ensembles de points. L'image d'une hyperbole équilatère est une strophoïde et autres réjouissances.

Pour terminer, je me souviens de cette mise en garde de mon vénéré professeur de terminale : on ne doit pas dire "rapport" d'une inversion mais "puissance". Un "rapport" évoque une définition indépendante de l'unité de longueur choisie. Une puissance exige une unité de longueur choisie une fois pour toute au préalable; à méditer.