Géométrie plane: inversion de pôle

[Eperqueloo]

Bonjour,
Voici un exercice me posant problème:

Etant donnés un point I et un réel non nul k, on appelle inversion de pole I et de puissance k l'application qui au point M (distinct de I) associe le point M' de la droite (IM) tel que le produit des distances algébriques IM et IM' soit égal à k.
On appelle cette application S.

1)Soit A et M différents de I et A' et M' leur image par S
MOntrer que A,A',M,M' sont cocycliques.

En déduire une construction géométrique du point M' connaissant celle d'un point A.

2) Soit D une droite ne passant pas par I. On note A le projeté de I sur D, A' son image par S et C le cercle de diamètre [IA']. Montrer que l'image de la droite D par S est un cercle C' privé du point I.



Pour la première question, je me suis servi du produit scalaire de IM et IA qui valait k. J'avais donc un cercle de diamètre AM passant par M' et A'.

La construction de M' était donc le projeté orthogonal de A sur (IM).

Le problème est pour la seconde question.. où en dessinant je vois déja que l'image de C est un cercle de diamètre [IA]

Si vous pouviez me donner un indice et juger aussi si ma réponse à la première question est valable, merci.

Bonne fin de week-end à tous.

[abcd22]

Bonjour,

Pour la première question, je me suis servi du produit scalaire de IM et IA qui valait k. J'avais donc un cercle de diamètre AM passant par M' et A'.

La construction de M' était donc le projeté orthogonal de A sur (IM).

On n'a pas , mais seulement et
. Je pense qu'il faut plutôt utiliser la puissance d'un point par rapport à un cercle. Ta construction de M' est fausse, il faut comprendre qu'on connaît l'image de A et pas seulement A dans la question.

Le problème est pour la seconde question.. où en dessinant je vois déja que l'image de C est un cercle de diamètre [IA]

Tu veux sûrement dire de diamètre [IA'] ?
Si on prend un point M de D différent de A et qu'on construit M', pour montrer que M' est sur le cercle de diamètre [IA'] il suffit de montrer que [IM'] et [M'A'] sont orthogonaux, ce n'est pas très difficile si on a la bonne méthode de construction à la question 1.

[Eperqueloo]

Merci. La construction parait plus simple comme ça. Cela m'a également permis de trouver pour la seconde question où j'ai utilisé le produit scalaire :soupir2: . Bon week end à tous.

[abcd22]

Pour la question 2 on peut aussi justifier que M' est sur le cercle de diamètre [IA'] si M est sur D sans produit scalaire : comme le triangle AA'M est rectangle en A, le cercle circonscrit à ce triangle est de diamètre [A'M], comme M' est sur ce cercle, [M'M] et [M'A'] sont orthogonaux, et comme I, M et M' sont alignés on a aussi [IM'] et [M'A'] orthogonaux.
Il ne faut pas oublier de justifier que tout point du cercle de diamètre [IA'] privé de I est l'image d'un point de D par S pour répondre complètement à la question (sinon on montre juste l'inclusion de l'image dans C'-I).

[AceVentura]

Bonjour,

On n'a pas , mais seulement et
. Je pense qu'il faut plutôt utiliser la puissance d'un point par rapport à un cercle. Ta construction de M' est fausse, il faut comprendre qu'on connaît l'image de A et pas seulement A dans la question.

Tu veux sûrement dire de diamètre [IA'] ?
Si on prend un point M de D différent de A et qu'on construit M', pour montrer que M' est sur le cercle de diamètre [IA'] il suffit de montrer que [IM'] et [M'A'] sont orthogonaux, ce n'est pas très difficile si on a la bonne méthode de construction à la question 1.

Bonjour, je suis tombé par hasard sur votre message, et il se trouve que je cherche une démonstration de cela.
Donc I est une inversion qui transforme A en A' et M en M'. On a donc et . Mais comment utilise-t-on la puissance du point par rapport au cercle pour montrer que A,A',M,M' sont cocycliques ?

[Ben314]

Salut,
si tu sait ce qu'est la puissance d'un point par rapport à un cercle, c'est "les doigts dans le nez" :
Tu considère le cercle C passant par A,A' et M puis le second point d'intersection M" de IM avec C.
Tu sais alors que =puissance de I par rapport à C.
Or, par hypothése, et , comme I, M, M' et M" sont alignés, cela prouve que donc que M'=M".

[AceVentura]

Salut Ben!
Je n'ai pas saisi cette égalité .
Peux-tu me l'expliquer ?
Merci.