Géométrie L3 : partie polaire d'une ellipse

[Pick]

Bonjour à tous !

Je bloque sur une question.

Étant donné une ellipse T d'équation x²/9 + y²/4 = 1, je dois déterminer la partie polaire de cette ellipse T.

Soit (x,y) un point du plan et (a,b) un point de l'ellipse, donc tels que a²/9 + b²/4 = 1.

Par définition, on veut (x,y) tels que , pour tout (a,b). Il faut utiliser le fait que a²/9 + b²/4 = 1, mais je ne vois pas comment.

Ne connaissant rien sur les parties polaires (je les ai découvertes dans le sujet), je ne vois pas d'autre façon de faire...

Merci à ceux qui pourront m'éclairer et m'aider à avancer.

[chan79]

salut
Ce ne serait pas l'équation polaire, plutôt ?

[Pick]

Non, c'est bien la partie polaire T* de T.

Par définition, c'est l'ensemble des (x,y) dans P tels que
(c'est le produit scalaire classique) pour tout (a,b) dans T.

Il faut donc pour tout (a,b) dans T. Il faut utiliser le fait que a²/9+b²/4=1, mais je ne vois pas comment.

C'est d'autant plus difficile que je ne sais même pas intuitivement ce que je dois trouver, puisque les parties polaires me sont inconnues...

[pascal16]

a²/9 + b²/4 = 0

ça choque personne ?

[chan79]

si, je viens de le voir ....

[Pick]

Désolé, c'est a²/9 + b²/4 = 1, c'est mieux comme ça !

[pascal16]

[Pick]

J'aurai dû y penser tout de suite... Avec ça j'ai un système qui me permet d'aboutir, merci.

[pascal16]

avec un <=, ça donne des demi-plans, tracé sous geogebra, il me semble que c'est une ellipse encore de grand axe y=-1 à y=1 et de petit axe de x=-0.75 à x=0.75

[Ben314]

Salut,
Ces histoire de partie polaire pour les ellipses, c'est une application directe et immédiate du théorème de Cauchy Schwarz :
Si ton ellipse a pour équation , alors, pour tout et tout , tu as :

Avec égalité ssi les vecteurs et sont colinéaires.

Donc si on veut que pour tout , il faut et il suffit que ce qui correspond à l'intérieur d'une ellipse de demi axes 1/3 et 1/2 (les inverses des demi axes de T) qui est en quelque sorte "l'ellipse duale" de T.

[pascal16]

Trop fort ce Ben, on sent qu'il est dans le bain.

[Pick]

Merci pour ces précisions qui m'éclairent beaucoup !

Juste un point, d'où vient exactement le fait que ?

[Ben314]

Juste un point, d'où vient exactement le fait que ?

Écrit comme ça, c'est complètement faux.
Ce que j'ai écrit, c'est que pour tout .
- L'implication provient de la majoration valable pour tout
- L'implication provient du fait qu'il existe tel que : il suffit de prendre tel que avec tel que .

[Pick]

Merci d'avoir éclairci ce détail !

[Pick]

De retour sur ce sujet de géométrie !

Toujours avec cette même ellipse T, je dois déterminer son enveloppe convexe. Je cherche à montrer qu'une ellipse est convexe, en me donnant deux points (x1,y1) et (x2,y2) de l'ellipse, et dans [0,1], on a (x1,y1) + (1 - )(x2,y2) = (x1 + (1 - )x2 , y1 + (1 - )y2).

Et je trouve donc (x1 + (1 - )x2)² / 9 + (y1+ (1 - )y2)² / 4 = ² + (1 - )² + 2(1 - )(x1x2 / 9 + y1y2 /4).

Et je dois trouver que le tout vaut 1, mais je n'y parviens pas.

Ensuite, je dois aussi faire un dessin de cette ellipse. Comment faire avec seulement la règle et le compas ? Sur internet, je tombe toujours sur la méthode du jardinier avec une ficelle, mais pas avec seulement la règle et le compas...