DM produit scalaire 1ere S

[Rodrigo]

Salut !!!
J'ai besoin de votre aide pour un DM de maths sur le produit scalaire.
L'exercice est le suivant : Je voudrais savoir si c'est juste car j'ai eu bcp de mal a le faire et je craints bien que ce soit faux.

Soit ABC un triangle équilatéral de coté a.
1)Démontrer que pour tout point M du plan on a : où D est défini par vecteur AD= vect AB + vect AC : vecteur MB. vecteur MC = AM² – vect AM. VECT AD + a²/2

Donc celle la j'ai réussi ; je suis parti de vect MB . Vect MC = vect( MA+AB).(MA+AC) j'ai développé et je trouve ensuite ca.

2)Déterminer les ensembles des points M tel que : ( c'est cette question pour laquelle je pense avoir fait faux ! )

a. vect MB.MC = AM² + a²/2 ;

C'est EGAL si et seulement si vect – AM.AD = 0 si et seulement si MA..AD=0 si et seulement si
MA orthogonal à AD .
L ENSEMBLE DES POINTS M SE SITUE SUR LA DROITE PERPENDICULAIRE A (AD) PASSANT PAR A.

b. vect MB.MC = a²/2 ;C'est égal si et seulement si AM² – vect AM.AD=0 si et seulement si AM²= vect MA.AD Or vect MA.AD est positif, donc ils sont de meme sens.
On a donc : MA² = MA x AD si et seulement si MA=AD
L ENSEMBLE DES PONTS M EST LE SYMETRIQUE DE D PAR RAPPORT à A;

c.vect MB.MC = AM²;c'est égal si et seulement si - vect AM.AD + a²/2=0 si et seulement si vect AM.AD= a²/2
donc AM.AD est positif donc les vecteurs sont de meme sens. Or AM.AD= AM(AB + AC) vect . Ce qui implique que a x 2 AM = a²/2 si et seulement si 2 AM = a/ 2 si et seulement si AM= a/4.
Donc le point M est situé sur le cercle de centre A et de rayon a/ 4

voilà !! je vous remercie d'avance de votre réponse !

Bonne journée !!

[Rodrigo]

Personne ne peut m'aider svp ?

[Huppasacee]

b. vect MB.MC = a²/2 ;C'est égal si et seulement si AM² – vect AM.AD=0 si et seulement si AM²= vect MA.AD Or vect MA.AD est positif, donc ils sont de meme sens.
On a donc : MA² = MA x AD si et seulement si MA=AD
L ENSEMBLE DES PONTS M EST LE SYMETRIQUE DE D PAR RAPPORT à A;

AM² - AM.AD = 0

AM. (AM-AD) = 0
AM.(AM+DA)=0

A toi de conclure !

[Rodrigo]

Ah ok ca y est j'ai réussi !
Mais maintenant je beugue pour le 3 :
c.vect MB.MC = AM²;c'est égal si et seulement si - vect AM.AD + a²/2=0 si et seulement si vect AM.AD= a²/2
donc AM.AD est positif donc les vecteurs sont de meme sens. Or AM.AD= AM(AB + AC) vect . Ce qui implique que a x 2 AM = a²/2 si et seulement si 2 AM = a/ 2 si et seulement si AM= a/4.
Donc le point M est situé sur le cercle de centre A et de rayon a/ 4

Quelque peux m'aider svp ?

Merci d'avance

[Huppasacee]

AM.AD= a²/2

AD est un vecteur fixe

que te donne la définition utilisant le projeté orthogonal AM ' de AM sur AD ?

Fais une figure

[Rodrigo]

Salut !
Merci pour votre réponse ! Le DM est reporté à demain ! Donc elle m'est utile!
vect AM.AD = vect AM'.AD
la norme de AD=.. je sais pas mais je vois en vous voulez en venir : connaissant la norme de AD, on va en déduire celle de AM' et donc connaitre l'emplacement de M. L'ensemble des points M sera sur une perpendiculaire, mais laquelle ?

Pouvez vous m'aider svp !

[Huppasacee]

Le projeté orthogonal de M sur AD sera en M '
Or , tu connais l'emplacement de M' sur AD

tous les points M répondant à la condition auront le même projeté orthogonal M'

La conclusion s'impose d'elle même