Dm variation : demonstration

[lyon6941]

salut,

j'ai un dm à rendre pour demain j'ai essayé de le faire hier mais impossible je me prend la tête

ennoncé : Les maisons d'adrien (A) et benoit (B) sont séparées par un ruisseau de 2,5m de large .
Les bords du ruisseau sont matérialisés par deux droites parallèles (D) et (D') .
H est le projeté orthogonal de A sur (D) .
H' est le projeté orthogonal de B sur (D) .
B" est le projeté orthogonal de B sur (D') .
HH'= 40 ; AH = 10 ; BB3 = 5 ( les distances sont exprimées en mètres ) .

petite photo de la figure :[img][IMG]http://img398.imageshack.us/my.php?image=1000578mp0.jpg[/img][/IMG]


j'ai déjà répondu à quelques questions mais la dernière me pose un gros problème :

M étant un point de [HH'] , est-il possible de construire une passerelle [MN] perpendiculaire aux bords du ruisseau de façon que le trajet AMNB soit de longueur minimum ??

j'ai ça comme aide :

1.) Faire une figure , construire B' le translaté de B par la translation de vecteur MN .

2.) Démontrer que AM + NB = AM + MB'

3.) Déterminer la position du point M pour laquelle le trajet est minimal . Soit P le point obtenu

Ensuite c'est calculer HP mais je dois simplement utiliser pythagore donc j'ai besoin d'aide pour la demonstration du haut et j'arrive pas à faire la figure ...

EDIT : j'ai fais ça pour la translation c'est bon ?? mais la 2.) et 3.) j'arrive pas :marteau:http://img89.imageshack.us/my.php?image=1000580sq0.jpg

[Florélianne]

Bonsoir,
Prends comme inconnue la distance HM = x
Le triangle AMH est rectangle en H , Pythagore =>
AM² = 10² + x²

comme MNB"H' est un rectangle, B"N = MH'
BNB" est rectangle en B", Pythagore =>
BN² = 5²+(40-x)²

la distance à parcourir entre A et B est :
AM+MN+BN
MN est fixe AM et BN sont des longueurs donc positives donc AM minimale <=> AM² minimale
BN minimale <=> BN² minimale

si AM² + BN² minimale alors AN+ BN sera aussi minimale
(AN+BN)² = AN² +2AN.BN+BN²

AM² + MN² = 10²+x² +5²+(40-x)²

développe réduis... et résous une équation de degré 2 en x...
Bonne travail