Factorisation

[Maffyeux]

Bonjour à tous.

Je cherche à factoriser 2^(ab) - 1 pour montrer que ce ne peut pas être un nombre premier (c'est dans un exercice sur les nombre de mersenne il me semble mais je n'ai pas compris les réponses déjà sur le forum)
Ce ne serait pas une histoire avec le binôme de Newton ?
On peut en effet écrire 2^(ab) - 1^(ab) mais ensuite ...

Merci de bien vouloir m'aiguiller :id:

[Monsieur23]

Aloha ;

[Maffyeux]

Ce qui donne (excusez l'écriture...)

2^(ab)-1 = (2^a - 1) ( 1 + 2^a + 2^2a + ... + 2^(a(b-2)) + 2^(a(b-1)) )

Et les deux facteurs sont différents de 1 et de 2^ab-1 donc on peut conclure que ce n'est pas premier est-ce ça ?

[XENSECP]

Non ^^ Le premier terme c'est juste 2-1=1 ;)
En gros il te reste une certaine somme :) Mais on pouvait passer par l'interprétation d'une suite géométrique aussi ! Tout dépend du résultat attendu !

[Maffyeux]

Il faut démontrer que si p n'est pas premier alors 2^p - 1 ne l'est pas non plus.
J'ai donc écrit p comme produit de a par b (différents de 1 et p) en espérant pouvoir factoriser en deux termes non premiers en écrivant

(2^a)^b - 1 = ...

[XENSECP]

Ah vu comme ça ok !
(2^a-1) * somme ;)
Donc c'est pas premier oui ^^

[Monsieur23]

C'est ça, tu dois séparer ta puissence en deux.

Tu dis que a et b sont différents de 1 et p, donc 2^a - 1 n'est ni égal à 1, ni à p.

Donc c'est pas premier.

[Maffyeux]

Merci pour vos explications ! bonne continuation