Dm terminale

par **azul12** » 21 Déc 2008, 17:04

Bonjour tout le monde! :we:

j'ai quelques soucis en maths, je demande alors votre aide :happy2:

donc voici la fonction du problème: g(x)= x^3 - 1200 x - 100

Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique sur l'intervalle [20,40] et donner en justifiant une valeur approchée à l'unité près. En déduire le signe de g(x) selon les valeurs de x.

Cette question ne m'inspire vraiment pas... :triste:
Si vous avez quelques suggestions à me faire n'hésitez pas!
et bonnes fêtes à tous ^^

par **oscar** » 21 Déc 2008, 17:37

Bonjour

Il faut calculer la dérivée
Puis les racines , les signes et les variations
Tu auras ainsi l' intervalle demandé

par **azul12** » 21 Déc 2008, 17:57

Merci mais tout cela je l'ai déjà fait dans une question précédente!! :
Étudier le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.

par **axiome** » 21 Déc 2008, 18:07

Et ben, regarde sur l'intervalle [20 ; 40] de ton tableau de variation alors.
Tu pourras répondre à tes questions.

par **azul12** » 21 Déc 2008, 21:30

Je vois...j'ai maintenant les bonnes idées en place :id:
merci pour votre aide.

par **azul12** » 22 Déc 2008, 15:05

donc pour la question "En déduire le signe de g(x) selon les valeurs de x."
il suffit de regarder le signe de g entre l'intervalle [20;40] et c'est tout?
mais je doit alors refaire un autre tableau alors non?
Sinon cela risque d'être trop léger pour répondre à une question...

par **oscar** » 22 Déc 2008, 15:33

Bonjour
f(x) = x³ -1200x -10 et f' (x) = 3x² -1200= 3( x²-400)

Ton tableau
x........................-20..............+20.....................................40..
g'

complète

par **maturin** » 22 Déc 2008, 15:37

ben si tu l'as déjà fait pas besoin de le refaire.

Sur [20,40] g est-elle strictement croissante au strictement décroissante ?

quelle est la valeur de g(20)
quelle est la valeur de g(40)

pour aller de g(20) à g(40) en augmentant toujours (cas où g est strict. croissante) ou en diminuant toujours (si tu as trouvé strict. decroissante) passera tu par 0 ? Combien de fois ? Que peux tu en déduire ?

après calcules g(30), déduis en si le point x tel que g(x)=0 est sur [20,30] ou sur [30,40]. Recommence à redécouper ton intervalle en deux et ainsi de suite jusqu'à avoir un intervalle de moins de 1 pour répondre à la précision souhaitée. (c'est ce qu'on appelle trouver une approximation par dichotomie si tu as vu ça en cours)

par **azul12** » 22 Déc 2008, 16:06

D'accord je vois de quoi vous voulez me parlez :we:
"une approximation par dichotomie", je pense que c'est comme le théorème de la valeur intermédiaire!

Cependant maturin j'ai déjà fait ce que tu a dit pour la question :
"Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique sur l'intervalle [20,40] et donner en justifiant une valeur approchée à l'unité près."

Mais donc pour la question "En déduire le signe de g(x) selon les valeurs de x."
Il faut seulement
Établir le tableau de variation avec [-20;20;40]
et dire que g'(x) > 0 sur ]20.40[
g(x) = -16000<0< g(x) = 15900

Est ce le bon raisonnement? Ou faut-il rajouter quelque chose?

par **maturin** » 22 Déc 2008, 16:21

Alors le théorème des valeurs intermédiaires ça te permet de dire que si g(20)<0 et g(40)>0 et g continue strictement croissante sur ]20, 40[, alors elle passe une unique fois par 0. Ca te permet de dire qu'il y a une solution et que cette solution est unique.

La dichotomie c'est une méthode itérative pour trouver une approximation de cette solution par taton, en divisant l'intervalle de recherche par 2 à chaque itération. Ca revient à utiliser pleins de fois le théorème des valeurs intermédiaires.

soit x0 sur [-20;40] la solution g(x0)=0
Pour le signe de g(x) ben avec ton tableau de variation tu peux dire que g(x)<0 pour x0 pour x>x0 (tout en restant sur [20,40])

La méthode dichotomique:
si tu calcules g(30) tu trouves -9100 ce qui est négatif donc tu peux en déduire que x0>30. Donc x0 est sur l'intervalle [30,40]
Recommence en calculant g(35) et déduis que x0 est sur [30;35] ou [35,40]. Etc... jusqu'à ce que la taille de ton intervalle soit 1.

par **azul12** » 22 Déc 2008, 16:32

D'accord mais je ne vais pas utiliser la méthode dichotomique comme je ne l'ai pas vu en classe!

Donc pour la question "Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique sur l'intervalle [20,40]" ----> le théorème de la valeur intermédiaire

Et pour la question "En déduire le signe de g(x) selon les valeurs de x."
----> le tableau de variation [20;40] et je pense que sa ira!
Êtes vous d'accord?

par **maturin** » 23 Déc 2008, 14:52

oui ça suffit

la méthode dichotomique c'est pour répondre à la question "donner en justifiant une valeur approchée à l'unité près".

sinon tu peux aussi calculer g(20), g(21), g(22),...,g(39), g(40)
et tu verras quand tu te rapproche de 0.

L'idée de la dichotomie c'est de t'éviter de tous les calculer, en prenant celui du milieu à chaque fois.

Tu peux aussi directement dire g(34)<0 et g(35)>0 donc x0=34.5 à plus ou moins 0.5 près.
La dichotomie ça te permet de trouver ça de façon assez rapide, sans dire "tiens j'ai essayé au hasard et j'ai trouvé 34 et 35 comme encadrement".

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