Exercice complexe

[novak]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait il m'expliquer comment calculer cos 5;) et sin 5;) en fonction de cos;) et sin;) ? Si possible en détaillant.

Merci d'avance

[Sve@r]

Pas trop non (j'ai jamais trop aimé ces problèmes). Mais je pense qu'il doit y avoir dans ton cours des formules style cos(a+b) = ... ou cos(2a)=... etc. Il me semble que cela s'appelle "formules de Moivre" (à moins que je ne fasse une confusion)..

[uztop]

Bonjour,

oui, mais il y a mieux à mon avis.
C'est une application de la formule d'Euler:
est donc défini comme étant la partie réelle de

De la même façon, est la partie réelle de . On pourra remarquer que

[axiome]

Pas trop non (j'ai jamais trop aimé ces problèmes). Mais je pense qu'il doit y avoir dans ton cours des formules style cos(a+b) = ... ou cos(2a)=... etc. Il me semble que cela s'appelle "formules de Moivre" (à moins que je ne fasse une confusion)..

Tout à fait, il s'agit de la formule de Moivre qu'il faut utiliser :


où n est un entier naturel et est un réel quelconque.

A noter que sous la notation exponentielle, cette formule devient complètement évidente, c'est d'ailleurs comme cela que je la retiens :

[novak]

hmm, b j'avais cru comprendre qu'il fallait utiliser le traingle de Pascal et ensuite mettre les réels d'un coté et les imaginaires de l'autre mais j'ai le résultat (qui est cos 5;)= cos^5;) - 10 cos3;) sin²;) + 5 cos;) sin^4;)) mais justement où sont les imaginaires?

[uztop]

comme l'a dit axiome, la formule de Moivre est assez évidente; ce que je te proposais revient exactement au même.
Il faut développer ; la partie réelle donne les et la partie imaginaire les .
Est ce que tu peux détailler tes calculs? Je ne vois pas trop d'où vient ton résultat.

[novak]

En fait j'ai l'énnoncé et la correction d'où le résultat. Mais les étapes intermédiaires.. En fait ce que je ne comprend pas, c'est que l'on me demande de calculer cos 5;) en fonction de cos;) et je commence et termine avec des sinus..

ps: merci pour vos réponses.

[uztop]

est ce que tu as compris ce qu'on a écrit avant ? Les cos et les sin se calculent ensemble; il faut développer .
s'exprime en fonction de ET de (les deux sont nécessaires)