Vecteur propre

par **DTB** » 29 Nov 2008, 17:00

Bonsoir, je recherche les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice A définie par
Aii=1-pi pour i=j
Aij=-sinon
les pi sont des réels positifs dont la somme vaut 1
il faut utiliser l'inconnue t=

je trouve le systeme d'équation
-

t=(mi-1)xi ou mi est la valeur propre
mais je ne vois pas comment résoudre
merci

par **DTB** » 30 Nov 2008, 17:01

quelqu'un peut m'aider??

par **DTB** » 02 Déc 2008, 21:36

toujours personne? :cry:

par **nuage** » 02 Déc 2008, 22:44

Salut,

DTB a écrit:Bonsoir, je recherche les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice A définie par
Aii=1-pi pour i=j
Aij=-sinon
les pi sont des réels positifs dont la somme vaut 1
il faut utiliser l'inconnue t=
je trouve le systeme d'équation
- t=(mi-1)xi ou mi est la valeur propre
mais je ne vois pas comment résoudre
merci

je ne sais pas si je peux t'aider, pas ce soir en tout cas.
Mais à quoi est égal

si

?

par **DTB** » 03 Déc 2008, 06:49

oops
Aij=-

si ij

par **DTB** » 03 Déc 2008, 21:10

:cry: svp???

par **nuage** » 03 Déc 2008, 21:27

Salut,
juste une remarque :
la matrice dépend de

paramètres, il est donc évident qu'elle est de rang inférieur à

.
En d'autres termes 0 est une valeur propre.

par **yos** » 03 Déc 2008, 23:24

nuage a écrit:la matrice dépend de paramètres, il est donc évident qu'elle est de rang inférieur à .

Euh... Si tu le dis.
Pour n=2 je confirme. Au delà j'y crois pas. Mais je peux me tromper et d'ailleurs j'ai échoué à calculer le polynôme caractéristique. La seule chose que je vois c'est que c'est diagonalisable dans R car symétrique. L'indication de l'inconnue à choisir est assez bizarre. J'essaierai d'écrire ça mieux demain.

par **nuage** » 04 Déc 2008, 16:29

Pour une démonstration :
on pose

et

son transposé.

On a alors

La suite est assez simple et le fait que la somme des

soit 1 permet de montrer que V est un vecteur propre associé à la valeur propre 0.

Mais je dois bien avouer que, si mon intuition était juste ce fut par chance, elle n'avait pas le caractère d'évidence que je lui donnai.

par **yos** » 04 Déc 2008, 16:54

nuage a écrit:

Je viens de voir le moins devant

. Du coup je m'incline.

par **yos** » 04 Déc 2008, 17:27

Et puis d'ailleurs les matrices

sont les matrices de rang 1. Donc M a pour valeur propre 1 avec un sep de dimension n-1.

par **nuage** » 04 Déc 2008, 18:10

yos a écrit:Et puis d'ailleurs les matrices sont les matrices de rang 1. Donc M a pour valeur propre 1 avec un sep de dimension n-1.

qui est l'hyperplan orthogonal à V.
On peut diagonaliser M dans une base orthonormale.

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