Equations et polynômes

[Kurutchin]

Voilà, bonjour à tous, j'ai besoin d'aide pour un exercice que je n'arrive pas à faire dans sa partie mathématiques.
Il y a aussi une partie informatique où on fait des conjectures.
Alors, je vous mets le sujet.

Dans un repère (O,i,j) du plan, on note P la parabole d'équation y=x² et dm la droite d'équation y=2x+m.
A chaque réel m correspond une droite dm.

Partie Informatique:

1- En utilisant le logiciel GeoGebra, construire P et la droite que nous noterons d.
2-Conjecturer la position relative des droites dm, lorsque m varie (ça c'est fait, elles sont parallèles)
3-Conjecturer les valeurs de m pour lesquelles dm coupe P en deux points M et N, distincts ou non (Fait aussi, il semble que M=N quand m=-1 et ils semble que dm coupe P en M et N quand m appartient à [-1;+infini]).
4-Lorsque dm coupe P en 2 points distincts M et N, on note I milieu de [MN]. Lorsque dm coupe P en un seul point M=N, on pose M=N=I.
a) Faire apparaître I sur la figure.
b) Faire apparaître la trace du lieu L de I.
c) Conjecturer la nature de ce lieu L et une équation.
(Ca c'est fait, il semble que c'est une droite d'équation x=1 parallèle à l'axe des ordonnées.

Partie Mathématique:

1-Démontrer la conjecture du A)2- (en gros, la position des droites dm)

2-Démontrer que:"Dire que dm coupe P en deux point M et N, distincts ou non, équivaut à dire que m supérieur ou égale à -1.

3-Démontrer le résultat suivant:
Lorsque le trinôme ax²+bx+c admet deux racines distinctes ou confondues, leur somme S est égale à S=-b/a.

4-
a)Calculer en fonction de m les coordonnées de (xI,yI) de I.
b)Prouver que I appartient à la droite d'équation D d'équation x=1.
c) Il reste désormais à répondre à la question suivante: le point I décrit-il toute la droite D?
°Lorsque m décrit [-1;+infini[, que décrit yI?
°Déduire alors ce que décrit I soit le lieu L.


Bon je veux pas les réponses, je veux juste les pistes, les débuts. J'ai déjà fais des recherches mais à chaque fois, la variable m me gêne.

Merci d'avance.

[LeFish]

Mais ou exactement bloques tu ?


Bon j'ai 4h de maths , a tout a l'heure !

[Kurutchin]

Je bloque à la partie Maths, surtout les 2- et 3- :cry:

[maturin]

un point M de coordonnées (xM,yM) appartient à une courbe d'équation y=f(x) si et seulement si yM=f(xM)

c'est la définition de l'équation d'une courbe.

La tu cherches l'existence de points qui sont sur ta droite et sur ta parabole.
C'est à dire que tu recherches les points (x,y) tels que
(x,y) sur ta droite : y=2x+m
(x,y) sur ta parabole : y=x²

ce qui te donne un système de deux équations à deux inconnues.

Et selon les valeurs de m tu vas trouver zéro, une ou deux solutions.


pour la question 3 appelle x1 et x2 les racines de ton polynome.
ton polynome s'écrit alors a(x-x1)(x-x2)
développes et identifies terme à terme avec ax²+bx+c

[Kurutchin]

Ok, merci, mais pour les solutions, faut calculer le discriminant, mais pour calculer le discriminant, faut m. Le problème c'est que m est une variable et qu'on pose pas de valeurs précises. Et c'est ça qui me fait bloquer. J'ai essayé calcul de discriminant mais à la fin, pour les solutions, je bloque.

[maturin]

calcule le discriminant avec des m

pour avoir 0 solutions il faut que le discriminant soit <0 donc mpour avoir 1 solutions il faut que le discriminant soit =0 donc m=???
pour avoir 2 solutions il faut que le discriminant soit >0 donc m>???

[Kurutchin]

C'est déjà fais, pour que delta=0, faut que m=-1, pour qu'il soit positif, faut que m>-1 et pour négatif, m<-1. Mais, quand on veut faire le calcul des solutions, pour delta>0 par exemple, deux solutions, mais y a la racine de Delta, or si on a pas une valeur précise de m, on a pas la valeur précise de delta?

[maturin]

ça suffit à répondre à la question 2 de dire ça.


pour la question 3 tu fais soit comme je te l'ai proposé plus haut en développant a(x-x1)(x-x2) soit tu exprimes x1 et x2 les deux racines en fonctions de a,b,c et delta et quand tu fais x1+x2 les racines de delta s'annulent.

et xI=(x1+x2)/2 donc pas de racines de delta.

[maturin]

de plus le but est d'exprimer xI et yI en fonction de m.
Donc même s'il y avait des racines il faut les garder.

[Kurutchin]

Ah ok, merci =)