Suite

[DTB]

Bonjour, j'aurai besoin d'un peu d'aide pour finir un exercice
Soit (Un) une suite de réels strictement positifs qui converge vers 0
Montrer que l'ensemble des n tels que q>n on a Uqno , Uq Un
la convergence vers 0 s'écrit e>0, m, n>m => Unno, Uq Un
m, n>m, Un<Uno

je n'arrive pas a finir

merci...

[nuage]

Salut,
je ne suis pas certain de bien avoir compris la question.
Il s'agit bien de démontrer que, en posant

[leon1789]

...tout à fait ! :zen:

[DTB]

c'est plutot
En={n N, p>n, Up<Un}
je ne pense pas que ce soit aussi facile...

[ffpower]

plutot E={n\in N,\forall p>n, Upno , Uq\ge Un[/TEX] n est pas la négation de l'énoncé(juste une petite erreur,mais qui a son importance)

[DTB]

oui en effet
ce serait plutot
no, n no, q n,Uq Un

[R.C.]

Bonjour,
Ce n'est pas encore tout à fait ça : il faut q>n (sinon tu peux prendre q=n...).
Ayant supposé l'absurde, moi ce que j'aime bien faire dans ces cas là, c'est de construire une sous suite sympathique.

[DTB]

pour la solution avec la sous suite je propose
on choisit n=no
on a q>no, Uq Uno
puis on prend n1=q
n1>no et q2>n1,Uq2 Un1
puis n2=q2 etc...la sous suite est croissante donc ne peut converger vers 0...
cela est correct?

sinon j'aimerais bien connaitre la solution avec les quantificateurs...

[R.C.]

C'est bon. Par contre pour l'instant je n'ai pas d'autre solution.

[leon1789]

c'est plutot
E={n N, p>n, Up<Un}
je ne pense pas que ce soit aussi facile...

Ok.
Cela ne découle pas d'un raisonnement par l'absurde encore une fois.

La question préliminaire (après ça tombe tout seul, il me semble) est :
comment construire un élément de E ?

[leon1789]

[quote="DTB"]c'est plutot
E={n N, p>n, Up0 et tend vers 0)
Le nombre d'éléments valant M est fini
(car elle est >0 et tend vers 0)
on prend le plus grand indice.
Voilà qui détermine un premier élément de E !

Ensuite, il suffit de recommencer avec la sous-suite ... il n'a aucune obstruction et cela peut se répéter une infinité de fois !
donc E est infini.

[R.C.]

Exact, c'est une solution bien plus élégante.
Merci