J'ai beaucoup de problème avec mon DM de spécialté. Pourrez-vous m'aider s'il vous plait?
L'exercice est le suivant:
"On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écriresousla forme 9+a² où "a" est un entier naturel non nul; par exemple 10=9+1² ; 13=9+2² etc. on se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'élément de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.
1. Etude de l'équation d'inconnue "a" : a²+9=2^n où a
a. Montrer que si a existe, a est impair.
b. En raisonnnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.
2. Etude de l'équation d'inconnue "a" : a²+9=3^n où a
a. Montrer que si n>ou=3, 3^n est congrue à 1 ou à 3 modulo 4.
b. Montrer que si "a" existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c. On pose n=2p où p est un entier naturel, p>ou=2. Déduire d'une factorisation de 3^n-a², que l'équation proposée n'a pas de solution.
3. Etude de l'équation d'inconnue "a" : a²+9=5^n où a
a. En raisonnnant modulo 3, montrer que l'équation n'a pas de solutionsi n est impair.
b. On pose n=2p, en s'inspirant de 2.c. démontrer qu'il existe un unique entier naturel "a" tel que a²+9 soit une puissance entière de 5."
Merci d'avance.