[Terminale S - Spécialité : Maths] DM sur la divisibilité et

[Trevor]

Bonjour, notre prof de spé. nous a donné un devoir maison à faire pour vendredi à propos de la divisibilité et de la division euclidienne, et il y a deux exercices que je n'arrive pas à faire, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il-vous-plaît ?


Exercice 1 :
Pour quelles valeurs de l'entier k le rationnel (k + 9)/(k - 1) est-il un entier relatif ?

Je pense, même si je ne suis pas sûr, qu'il faut en fait déterminer pour quelles valeurs de k on a (k + 9) multiple de (k - 1), ce qui donnerait une équation du type : k + 9 = y (k - 1), mais je ne parviens pas à la résoudre.


Exercice 4 :
Déterminer les entiers relatifs n dont le reste dans la division euclidienne par 16 est égal au carré du quotient.

Ici, je sais que l'équation de la division euclidienne est du type : a = bq + r (avec a=dividende, b=diviseur, q=quotient, et r=reste).
On aurait donc, d'après l'énoncé :
a= ?
b = 16
q = ?
r = q², et comme 0<r<b, alors 0<q²<16

J'obiens donc : a = 16q + q²
Mais à partir de là, je bloque, je ne vois pas comment faire !


Voilà, donc quelqu'un pourrait-il me venir en aide ? Merci d'avance à vous !

[rene38]

Bonjour

Quelques pistes :
Exercice 1 :
k+9 = (k-1) + 10 donc (k+9)/(k-1) = .... = 1 + ... (nombre entier)
Il faut donc le dénominateur de ... divise son numérateur (je trouve 8 solutions)

Exercice 2 :
et est un entier.
Il n'y en a pas tant que ça dont le carré soit inférieur (strictement) à 16

[Trevor]

D'abord, merci beaucoup pour votre aide ! :we:

Ensuite, pour la piste que vous m'avez fournie pour l'exercice 1, j'arrive à cela :
k + 9 = k - 1 + 10
Donc :
k + 9 = (k - 1) x 1 + (k - 1) x (10)/(k - 1)
(k + p)/(k - 1) = 1 + (10)/(k -1)
Et là, je n'y arrive plus, je bloque, donc je me demande si je suis pas parti dans une mauvaise direction dès le début du calcul...

Pour l'exercice 2, j'ai trouvé (c'est vrai que c'était tout bête en plus !) :
0 < q² < 16 (le premier "<" est en fait un "< ou égal")
donc :
0 < q < 4

Donc ça marche pour q = 0, 1, 2 ou 3, et il suffit ensuite d'appliquer la formule a = bq + r pour trouver les valeurs de n, et je trouve : n = 0, 17, 36 et 57.

Par contre, il y a un truc que je n'ai pas compris, c'est sans doute idiot mais bon, c'est quand on fait :
0 < q² < 16 => 0 < q < 4 ; normalement, on devrait aussi avoir : -4 < q < 0, et pourtant, ça ne marche pas pour les valeurs de q négatives. Est-ce que vous pourriez m'expliquer pourquoi s'il-vous-plaît ? (c'est sans doute tout simple, mais je ne vois pas)

Merci d'avance !

[sqrt]

slt,

c'est quand meme tout bete ca:



on veut que :

tu recherhes donc les valeurs de k pour lesquels k-1|10 ....

et le tour est joué

[rene38]

Je réécris (k + p)/(k - 1) = 1 + (10)/(k -1)

donc et donc k-1 divise 10
et des diviseurs de 10 (dans ) ...

[Trevor]

Ca y est j'ai compris (je sais, je suis long à la détente... ^^' ). C'est vrai que c'est facile ! Mais je préfère mettre ce que je trouve pour être sûr que ce soit bien ça (on sait jamais).

On a : (k + 9)/(k - 1) = 1 + (10)/(k - 1)
Donc on cherche à savoir pour quelles valeurs de k on a 1 + (10)/(k - 1) appartenant à Z, c'est-à-dire pour quelle valeur de k on a (10)/(k - 1) appartenant à Z (car on est sûr que 1 appartient à Z), et comme on sait que les diviseurs de 10 sont 1, 2, 5 et 10, alors, au moyen d'équations (simples), on trouve que (k + 9)/(k - 1) appartient à Z pour p = 2, 3, 6 et 11.
C'est bien ça ? :doute:


Par contre, est-ce que vous pourriez m'expliquer pourquoi, dans l'exercice 2, q ne peut pas être un entier négatif ? (voir mon message précédent)
Car je le vois bien au résultat que c'est impossible, mais je me demandais si c'était possible de le voir avant.

Merci beaucoup en tout cas !

[sqrt]

attend avant de passer au 2 .

= {1;-1;10;-10;5;-5;2;-2}

a toi :id:

[Trevor]

Ah oui je les avait oubliés les négatifs (et dire que je fais Spé. Maths... :doh: )

Donc, en tenant compte des diviseurs négatifs, on peut aussi avoir k = -9, -4, -1 et 0. C'est bien cela ?

Et pour l'exercice 2 (je sais, je suis tétû, mais bon, j'aimerais mieux comprendre, plutôt que de faire ça sans vraiment savoir pourquoi quoi), vous pouvez m'expliquer s'il-vous-plaît ? Merci d'avance !

[sqrt]

tu recherhes tous les entiers n naturel, tel que:
et

meilleur méthode c'est d'essayer au cas par cas.... (q=0;q=1;q=2;q=3)

à confirmer ....