[Terminale S spécialité] Nombre de Mersenne

[jfmamjjasond]

Bonjour, j'ai un DM à rendre pour mercredi prochain mais je bloque à partir de la question 3.

On appelle nombre de Mersenne tout nombre de la forme où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

1. Donner dans un tableau, les valeurs de pour n variant de 2 à 10. Parmi ces nombres de Mersenne, quels sont ceux qui sont premiers ? A quelle valeurs de n correspondent-ils ? Que remarquez-vous ?
   
2. Le nombre est-il un nombre premier ?
   
3. p et q étant deux entiers naturels non nuls, quel est le reste de la division par de ? En déduire que est divisible par et par
   
4. Démontrer que, si est premier, alors n est premier.
   La réciproque est-elle vraie ?
   
5. Déterminer les 6 premiers nombres de Mersenne premiers. (On pourra utiliser un instrument de calcul et ne pas justifier de façon formelle)
   (Facultatif : Chercher le et le )

Voici ce que j'ai trouvé pour la question 1 :

1. 3
2. 7
3. 15
4. 31
5. 63
6. 127
7. 255
8. 511
9. 1023

Donc ce que je remarque c'est que quand n est premier le nombre de Mersenne correspondant aussi.

Dans la question 2 je trouve donc il n'est pas premier.

Mais pour la question 3 je bloque, je suppose qu'il faut faire un truc avec le théorème de Fermat mais je vois pas quoi :briques:

Quelqu'un peut-il m'aider ?

Merci d'avance

[Luc]

Salut,

Attention: la question 1) te demande comment est n si est premier.
Toi, tu as répondu à la question: comment est si n est premier.

Toute la subtilité de l'exercice est ici.

La question 2. te montre un exemple où n est premier mais n'est pas premier. Donc l'affirmation "quand n est premier le nombre de Mersenne correspondant aussi" est fausse.

Le but de l'exercice est de démontrer que la réciproque est vraie, c'est-à-dire que "quand est premier l'entier n correspondant aussi".

Pour la 3., tu peux raisonner avec des congruences. Pars de et élève à la puissance q.

4. Montre plutôt la contraposée: suppose que n a deux diviseurs distincts de 1 et n (n non premier) et montre que n'est pas premier.

Bon courage!

Luc