Sur la théorie de la mesure...

[silent_james]

Bonjour tout le monde,

J'ai un problème sur un exo :
montrer que si f est mesurable positive sur X telle que son intégrale ainsi que l'intégrale de son inverse sur X sont finies alors la mesure de X est finie...
Comme indication, on dit d'appliquer Cauchy-Schwartz.
J'ai voulu l'appliquer en disant que f et (1/f) était dans L2 et que le produit de nombre fini était fini mais L1 n'est pas inclus dans L2 donc je suis bloqué...

Voilà, en vous remerciant!

[ThSQ]

C'est Cauchy indeed :

[silent_james]

Oui je suis d'accord mais ça donne inférieur ou égal au produit des normes L2 de f et de 1/f, et je ne sais pas si les fonctions sont dans L2...
Tu vois mon problème ?

[ThSQ]

Oui mais on a sauf, au pire, sur une partie de mesure finie (où f > 1).

[ffpower]

............

[silent_james]

Déjà, merci pour ton aide...
Je vais faire le boulet, mais je t'avoue que je vois pas !
f²{f>1} est de mesure finie et aussi pourquoi ce tu dis permets de conclure ?

[ffpower]

mes{f>1} est inferieure a l integrale de f sur {f>1} qui lui meme est inferieur a integrale de f

[silent_james]

Ok je te remercie,
maintenant pour conclure cet exo, j'utilise l'inégalité de Cauchy, mais sans résultat. Même en décomposant l'intégrale sur {f>1} et {f<=1}...
Qu'est-ce qui m'échappe ?

[Lierre Aeripz]

et sont dans !

[silent_james]

Oui d'accord, j'ai compris maintenant !!
et dans ce cas, on conclut directement donc...
merci bcq Lierre Aeripz ;) et merci à tous