Divisibilité par 7

[loli]

Comment montrer que les deux termes et ont même reste lors d'une division euclidienne par 7 ?

Calculer ensuite le reste de la division de par 7 ?

Comment calculer, d'une façon générale pour tout entier naturel n, le reste de la division euclidienne de par 7 et montrer que est premier avec 7 ?

Merci pour votre aide !

Loli :doh:

[loli]

J'ai l'impression que mes nombres sont peu lisibles !... Il s'agit de :
et !... :zen:

[becirj]

Bonjour

2 méthodes possibles selon que tu as étudié ou non les congruences .
Avec les congruences : 728 est dvisible par 7 donc modulo 7 soit ce qui signifie que ces deux nombres ont même reste dans la division par 7.

Sans les congruences : on pose

et 728 sont divisibles par 7 donc le reste dans la division par 7 de est r.

1000=6x166+4 donc a même reste que d'après la démonstration précédente

Il suffit d'examiner les restes dans la division par 7 de avec
et on peut obtenir les restes de toutes les puissances de 3

[Chimerade]

Comment montrer que les deux termes et ont même reste lors d'une division euclidienne par 7 ?

Calculer ensuite le reste de la division de par 7 ?

Comment calculer, d'une façon générale pour tout entier naturel n, le reste de la division euclidienne de par 7 et montrer que est premier avec 7 ?

Merci pour votre aide !

Loli :doh:

Si , c'est-à-dire que r est le reste de la division euclidienne de par 7, alors :


ce qui montre que r est le reste de la division de par 7

De la même manière on peut alors montrer que et ont même reste dans la division euclidienne par 7, de même que , et d'une manière générale pour toutes valeurs de p positives ou négatives tant que l'exposant n+6p reste positif ou nul.

Il en résulte que le reste de la division de par 7 est le même que le reste de la division de et comme 1000=6*166+4, le reste de la division de par 7 est le même que le reste de la division de , c'est-à-dire qu'il est égal à 4 puisque 81=11*7+4.
Je te laisse terminer...