Matrice diagonale

[djin_djin]

Bonjour, je n'arrive pas à répondre à cette question :

On suppose qu'une matrice A € Mn(R) est diagonalisable.
Soit P € R[X]. P(A) est-elle diagonalisable ?

Merci d'avance !

[tize]

Bonjour,
si tu as des doutes montre le déjà pour ...

[djin_djin]

On suppose A^n diagonalisable.
Donc il existe (R,T) tq A^n = RTR^(-1)

On a : A est diagonalisable.
Donc il existe (P,Q) tq A = PQP^(-1)
A^n = P Q^n P^(-1)

On identifie P avec R et Q^n avec T. Ca marche.

CCL : A^n est diagonalisable.

C'est bon comme ça ?

[SimonB]

C'est bon comme ça ?

Oui.

Qu'est-ce, maintenant, qu'un polynôme en A ?

[tize]

Je n'ai pas trop compris ce que tu as fait mais si A est diagonalisable alors il existe D diagonale et Q inversible telles que .
On a

[JCardan]

ton problème est régle. Si je reprends tes notations et que je pose n=deg(P) on a :

P(A)=somme de k=0 à n de alpha(k)A^k
=somme de k=0 à n de alpha(k)(T^-1)(Q^k)T
=(T^-1)(somme de k=0 à n de alpha(k)(Q^k))T
Or les alpha(k)Q^k sont toutes diagonales, leur somme est donc diagonale.
Donc P(A)=(T^-1)DT avec D diagonale donc P(A) est diagonalisable

[djin_djin]

ton problème est régle. Si je reprends tes notations et que je pose n=deg(P) on a :

P(A)=somme de k=0 à n de alpha(k)A^k
=somme de k=0 à n de alpha(k)(T^-1)(Q^k)T
=(T^-1)(somme de k=0 à n de alpha(k)(Q^k))T
Or les alpha(k)Q^k sont toutes diagonales, leur somme est donc diagonale.
Donc P(A)=(T^-1)DT avec D diagonale donc P(A) est diagonalisable

D'accord, je n'avais pas pensé à faire passer les matrices de passage en facteur, pourtant on en a bel et bien le droit puisqu'on ne fait aucune commutation.
Merci pour l'aide !

[SimonB]

Merci JCardan. Mais c'est pas vraiment l'esprit du forum que de balancer des solutions toutes faites :-(

[tize]

Oui tu aurais pu t'abstenir JCardan...
lire la note aux correcteurs deuxième message après le point 5)