Probleme sur le DM

[gege37]

bonjour à tous
je n'arrive pas à faire un exercice que j'ai sur un DM
l'énoncé est:
"Soit la suite u définie sur N* par u(n)=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n

==>pour tout x de R+ démontrer que ln(1+x)en déduire que pour tout entier k, k>=1, [U]1/(k+1)en ajoutant membre a membre les n inegalites obtenues en appliquant (I1)a k valant de 1 à n, démontrer que pour tout n de N* : [U]u(n+1) <= ln(n+1) <= u(n)
En déduire que pour tout n de N* : ln(n+1) <= u(n) <= 1 + ln(n)

[Benjamin]

Salut,
Tu as des idées pour commencer l'exo ? Il faudrait un peu indiqué des pistes et hésitations. Ensuite, je ne sais pas en quelle classe tu es, connais-tu la convexité d'une fonction ?
A plus,

[gege37]

je suis en classe de terminale
je ne connais pas la convexité d'une fonction et je n'ai pas de piste puis que je n'arrive pas à faire la première question même si la deuxième est la suite logique de la première puisque la réponse de la deuxième se déduit de la première puisqu'il faut juste remplacer x par k et c'est bon

[fatal_error]

Salut,

souvent dans les inéquations dans ce genre la, on regarde le signe de la différence.
Si tu as f(x)<=g(x) a démontrer, généralement (pas toujours le cas mais treees souvent) on regarde
f(x)-g(x) et on voit ce que ca donne, on peut s'aider d'un tableau de variations.
Donc tu testes f'(x)-g'(x)=0, tu trouves quand f(x)-g(x) est croissante ou décroissante sur un intervalle (celui qui t'intéresses, ici R+)
Ensuite tu peux tenter de trouver quand f(x)-g(x)=0. Alors la premiere partie de la premiere question tu pourras conclure. Ceci dit, c'est pareil pour la seconde partie de ta premiere question.

[Benjamin]

Salut,
Oui, effectivement, j'ai réalisé après coup que la convexité, c'est après le bac, désolé. Donc, pour démontrer ton inégalité, il faut et il suffit d'étudier le signe de la fonction f(x) = ln(1+x)-x pour x dans R+. En menant l'étude de cette fonction, tu devrais aboutir à la solution.
A plus si tu es encore bloqué,

[gege37]

re-bonjour
en cherchant bien je n'arrive pas à faire la deuxieme question avec k
je pense étudier f(x)=( 1/(k+1) - ( ln(k+1)-ln(k) ) ) <= 0
et g(x)= (ln(k+1)-ln(k) -1/k) <= 0
mais je ne suis pas sur

[gege37]

plus personne ne répond :cry: :cry: :cry: :cry: :cry: :cry: :cry:

[Benjamin]

Bonjour

Tu n'as plus besoin d'étudier de fonctions. "En déduire" veut dire qu'il faut se servir des équations précédentes.

Regarde ce que tu as au milieu : ln(k+1)-ln(k)
En fait, ln(a)-ln(b)=ln(a-b)
Si tu réduis ln(k+1)-ln(k) avec un seul ln, tu aboutiras à une forme ln(1+x) avec x = ???

En te servant de la première question, la réponse vient :)
A plus,

[gege37]

ok
donc dans ce cas là x =-1
mais je ne vois pas ce que je dois en tirer

[Benjamin]

Non, x ne vaut pas -1.
ln(k+1)-ln(k)=ln((1+k)/k), grâce à la formule donnée.
-=ln((1/k)+1) de la forme ln(1+x), avec x=1/K

Donc, tu peux utiliser les inégalités de la première question, en changeant la valeur de x.