Titre non conforme - Attention !

[cheurelotte]

Bonjour. Je suis actuellement en classe de 1ère scientifique, et j'ai un devoir à rendre pour la rentrée.
Je bute sur un exercice sur les produits scalaires.
Je vous donne l'énoncé, et vous explique comment j'ai procédé, enfin, tenté du moins puisque je n'ai rien obtenu de concluant.
(l'exercice est en 2 parties indépendantes l'une de l'autre)

1) Dans un repère orthonormal:
Placer les points A(-2; 2); B(3; -2) C(0; -3) D(4; 1). Les droites (AB) et (CD) se coupent en I.
Calculer l'angle AIC ) 0,01° près.
==> Donc pour placer les points c'est pas très compliqué hein!
Et alors après j'ai trouvé l'équation des droites (AB) et (CD). Ça m'a permis de calculer les coordonnées du point I. Après j'ai calculé les coordonnées des vecteurs AI et CI, et fait leur produit scalaire. De cette manière j'ai un résultat et je pensais m'en servir pour trouver l'angle (AI.CI = ||AI|| x ||CI|| x cos (AIC)). Bref, je pense que tout ce que j'ai fait est inutile alors si vous pouvez m'aider...

2) Le carré ABCD a pour côté a (a>0) et I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés.
1. Montrer que 2 côtés consécutifs de PQRS sont orthogonaux
2. Calculer PQ en fonction de a
Piste: Quel est le projeté orthogonal du vecteur BJ sur le vecteur IC?
3. En déduire que PQRS est un carré dont l'aire est le cinquième de celle de ABCD.
(C'est [url="http://i183.photobucket.com/albums/x262/cheurelotte/carr.jpg"]http://i183.photobucket.com/albums/x262/cheurelotte/carr.jpg[/url] pour voir l'image)
==> Donc pour montrer que 2 côtés consécutifs du carré PQRS sont orthogonaux j'ai calculé le produit scalaire de DJ et CI, car sur ces droites sont situés des points du carré PQRS. J'ai obtenu 0, donc c'est bien orthogonal.
Pour la question 2 je me suis dit qu'il fallait décomposer les vecteurs BJ et IC afin de calculer leur produit scalaire. De cette manière on pourrait utiliser le projeté orthogonal pour calculer PQ (BJ.IC = BJ x PQ). Mais je n'y arrive pas.

Si vous pouviez me donner des pistes, ce serait très gentil!

Merci!

[misaki]

1° Il faut que tu calcules le produit scalaire AI.CI de deux manières différentes :

AI.CI = ||AI|| x ||CI|| x cos (AIC))
mais aussi :
en calculant les coordonnées des vecteurs AI(xi-xa,yi-ya)=(x,y) et CI(xi-xc,yi-yc)=(x',y') et en appliquant la formule AI.CI = xx'+yy'

Dans le deuxieme cas tu trouve le resultat AI.CI et tu en déduit cos dans la première formule.