Fonction

[paulene]

bonjour à tous, j'ai un dm à faire et la question 4 me pose problèmes
voilà le sujet :
ABCD est un rectangle tel que AB=5 et AD=3 (unité de longueur : 1 cm). Pour tout x de [0;3], on place les points M, N, P, Q tels que AM=BN=CP=DQ On s'interesse à l'aire A(x) du polygone MNPQ en fonction de x.
1- Exprimer MB et NC en fonction de x. En déduire que A(x)=2x²-8x+15
2 demontrer que pour tout x de [0;3], A(x) = 2(2-x)² + 7
3 on va alors étudier le sens de variation de la fonction sur[0;3].
a recopier la démonstration ci dessous on completera chaque inégalité
en justifiant les reponses.

si 2 <(ou egal ) a
alors....<(ou egal )a-2...b-2<(ou egal )..car....

d'où.....(a-2)²-(b-2)²....car....

puis.....2(a-b)²....2(b-2)²...car...

et enfin....2(a-b)²+7.....(b-2)²....car

Pour tout réel a et b de l'intervalle (....;....] tels que aQuel est le sens de variation de la fonction sur [2;3] ?

b) reprendre la même démonstration en supposant cette fois que
0aQuel est le sens de variation de la fonction sur [0;3] ?

c) dresser le tableau de variation de la fonction A sur [0;3].

4 Pour quelle valeur de x, l'aire du polygone MNPQ est elle minimale ? la calculer.

5 Tracer la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm en abscisse, 0,5 cm en ordonnée).


voilà ce que j'ai fait :

1)

MB = AB-x= 5-x
NC= BC-x = 3-x

ABCDest un rectangle donc AB=DC et CB=AD
si AM=BN=CP=DQ alors MB=PD et CN=AQ

aire de AX = aire de ABCD- (Aire de MBN*2+ Aire de CPN*2)

aire de MBN = MBxNB/2
= (5-x)*x/2
= 5x-x²/2

aire de NCP = NCxCP/2
= (3-x)*x/2
= 3x-x²/2

aire de A(x)= 15-[(5x-x²/2*2)+(3x-x²/2*2)]
= 15 -(5x-x²+3x-x²
= 15-8x+2x²



2) A(x) = 2(x-2)²+7
= 2[(x-2)(x-2)]+7
= 2(x²-4x+4)+7
= 2x²-8x+8+7
= 2x²-8x+15


3) là je ne sais pas trop je vous mets ce que j'ai fait.

a)

si 2a
alors 0<(ou egal )a-2..<..b-2<(ou egal )1
car

alors 0.a-2..<..b-2..1 car on ne change pas le sens d'une égalité en retranchant aux membres de l'inégalité une même quantité

d'où..0 <(ou egal )(a-2)²<(b-2)²1car deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre

puis.0 <(ou egal )2(a-b)²<2(b-2)²<(ou egal )1 car on ne change pas le sens d'une inégalité en la multipliant par une même quantité

et enfin.0 <(ou egal )2(a-b)²+7<(b-2)²+7<(ou egal )9 car on ne change pas le sens d'une égalité en ajoutant aux membres de l'inégalité une même quantité

le sens de variation sur [2;3] est croissante


pour le petit b j'ai fait :


0a
alors -2 <(ou egal )a-2d'où 4 > (ou égal) (a-2)²> (b-2)> (ou égal)0
puis 8 > (ou égal) 2(a-2)²> 2(b-2)²> (ou égal)0
et enfin 15> (ou égal) 2(a-2)²>2(b-2)²> (ou égal) 0

pour tout réel a et b de l'intervalle [0;2] tels que aa(b)

Le sens de variation de la fonction sur [0;2] est décroissante


pour l'aire minimale je ne sais pas comment m'y prendre pour la calculer (mais après avoir fait la courbe je sais que la valeur de x est 7)

Je remercie d'avance la personne qui pourra m'aider et me dire si ce que j'ai fait est exact. Je voudrais rendre un bon devoir.

merci encore

[Huppasacee]

Ce que tu as fait est correct

Pour le minimum, non, ce n'est pas pour x=7 que ce minimum est atteint, .
D'ailleurs 7 n'est pas compris entre 0 et 3

Regarde ton tableau de variation, ne vois tu pas un minimume

La fonction décroit, puis croit !!!

Ele décroît jusqu'à atteindre quelle surface ?
Et pour quelle valeur de x cette surface est elle obtenue ?

[paulene]

effectivement je me suis trompée la valeur de x est égale à 2, et dans ce cas l'aire de MNPQ est égale à 7cm2. Je ne sais malheuereusement pas comment le présenter par calcul. Pouvez vous m'aider. Merci d'avance.

[paulene]

bonjour, quelqu'un peut il m'aider pour calculer l'aire minimale svp.