Extrema de Fonction

[Chabinoo]

Bonjour à tous,
Je suis nouvelle et j'aurais besoins de votre aide pour résoudre un problème.

Je dois déterminer les extremas de la fonction, f(x,y)= x²+x+4y² sur le triangle fermé délimité par les conditions 2x+2y<=1, x>=0, y>=0

Si vous pouviez m'aider ... :) :++:

[nuage]

Salut,
une condition nécessaire pour avoir un extrémum en à l'intérieur du domaine est :
.
Il est facile de voir que cette condition n'est jamais vérifiée sur le domaine donné.

Il reste alors à examiner ce qui se passe sur la frontière, ce qui est assez facile ici.
On trouve un extrémum à chaque sommet du triangle (sauf erreur de ma part).

[Chabinoo]

Merci beaucoup nuage !
Je vais essayer de partir sur cette voie !
Biz !

[Chabinoo]

Salut,
Après avoir suivi les conseils de nuage, je suis arrivé à cette conclusion pour l'exercice.
J'ai prouvé avant qu'il n'y avait pas d'extrema dans le domaine, je vérifie donc à la frontière du domaine.

J'ai des doutes sur l'exactitude du résultat, si quelqu'un pouvait me corriger, ca serait gentils :happy2: Merci ;)

La frontière de X est constituée des segments
[BC],[C0],[OB] Où B(1/2,0),C(0,1/2),O(0,0)

Sur [BC] on a x+y=1/2 d’où y=1/2-x donc
f(x,1/2-x) = x^2+x+4(1/2-x)^2= x²+x+1-4x+x² = 2x²-3x+1=g(x)

Recherche des extremas de g(x) sur [1/2,0]
Si g' (x)=4x-3=0
Cela implique x=3/4

Cette fonction admet donc un minimum strict en 3/4 , de valeur g(3/4)=-1/8
Un maximum strict en 0, de valeur g(0)=1




Sur [C0] on a x=0
Donc f(0,y)=4y²=h(y)

Recherche des extremas de h(y) sur [1/2,0]
Si h'(y)=8y=0
Cela implique y=0
Cette fonction admet un minimum strict en 0, de valeur h(0)=0
Un maximum strict en 1/2 , de valeur h(1/2)=4

Sur [OB] on a y=0
Donc f(x,0)=x²+x=h(x)
Si h'(x)=2x+1=0
Cela implique x=-1/2
Cette fonction admet un minimum strict en -1/2, de valeur h(-1/2)=3/4
Un maximum strict en 1/2, de valeur h(1/2)=2

Finalement, f admet sur sa frontière : un minimum local strict en (1/2,0) de valeur-1/8, un minimum local en (0,0) de valeur 0 et en (-1/2,0) de valeur 3/4
Un maximum local strict en B(1/2,0) de valeur 1, en C(0,1/2) de valeur 4 et en O(0,0) de valeur 2

Conclusion : f admet un minimum global strict en B(1/2,1/2) de valeur -1/8
Un maximum global strict en C(0,1/2) de valeur 4