Espace vectoriel

[Arno54]

Voici un exerice que je suis en train de réaliser et j'ai des petits problèmes sur certaines questions. Voici le sujet :

Soit E l'espace vectoriel sur Q défini par E = [racinecubique(5)].

1. Quelle est la dimension de E sur ? En donner une base B ?
2. Calculer la matrice M de la multiplication par racinecubique(5), puis de racinecubique(25) et de (1+racinecubique(5))².
3. On suppose maintenant que B est du type (a, racinecubique(5), 1) et que M est à termes entiers positifs. Est-ce possible ?
4. On pose H = transposée(M) et H0 désigne la matrice formée par les deux dernières lignes de H. On définit une suite d'entiers ak (k en indice) par l'algorithme suivant :

k=0
(i) Si Hk (k en indice) possède la propriété suivante :
Pour chaque colonne de Hk, le quotient dans la division
euclidienne du terme de la première ligne par celui de la deuxième ligne
est indépendant de la colonne et pour chaque
colonne le reste de la division est positif.

Alors on pose ak égal au quotient et Hk+1 = GHk où
G = 0 1
G = 1 -ak .
k = k+1 et on retourne au pas (i).
Sinon on va au point (ii).

(ii) Hk = HkH.

Ecrire cet algorithme en Maple ou en Maxima.


Pour les 2 premières questions, j'ai trouvé que B = (1, racinecubique(5), (racinecubique(5))²) est une base de E et donc que dim(E) = 3.
Pour la matrice de la multiplication par racinecubique(5), j'ai trouvé en posant :
P(X) = a + b.racinecubique(5) + c.(racinecubique(5))² polynôme de E et en exprimant P(1 x racinecubique(5)), P(racinecubique(5) x racinecubique(5)) et P((racinecubique(5))² x racinecubique(5)) dans la base B :
a b a +5b+25c
b 5c 0
c b 0
Pour la multiplication par 325 :
a a +5b+25c a
5c 0 5b
b 0 25c
Pour la multiplication par (1+35)2 :
a+b+c a+5b+45c a+10b+150c
2b+9c b+30c 5b+105c
b+6c 2b+21c b+45c

J'aurais bien aimé savoir si j'ai juste pour les 2 premières questions (et la bonne méthode pour la question 2) et avoir de l'aide pour les questions 3 et 4.
Merci d'avance.

[ThSQ]

1- ouais c'est bien 3 et la base est bonne
2- j'ai l'impression que tu confonds matrices et image d'un vecteur mais j'm'goure p'têt'e.

M envoie 1 sur , sur et sur 1. C'est une matrice de permutation ;..

[Arno54]

Oui merci. J'ai rectifié ce que j'avais trouvé pour les matrices. Une suggestion pour la suite ?

[Arno54]

Personne n'a une petite idée ?