Exercice algebre

[blowcoxx]

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour cet exercice en algebre car le prof de TD nous a dit qu'on ne le corigerait pas, et j'aimerais quand même avoir la solution.
Je vous remercie d'avance.

[bruce.ml]

Salut, dis nous ce que tu as fait on te dira si c'est juste :id:

[blowcoxx]

ben déja pour la premiere j'arrive pas à le montrer et pour la 2eme faut faire des divisions successives c'est ça? Mais ça mène à rien...

[bruce.ml]

Qu'est ce qu'un endomorphisme ?

[blowcoxx]

En mathématiques, un endomorphisme est un morphisme d'un objet mathématique sur lui même. exemple f:E-->E

[fatal_error]

Bonjour, en suivant la définition de ton endomorphisme, je pense que pour la première question, tu poses la division euclydienne
(X^4-X)*P(X)/(X4-5X^2+4), le reste est R soit Phi(X).

à partir des relation degré entre produit et quotient,
deg(X^4-x)+deg(P(X))<=4+K et 4+K-4=K avec K=deg(P(X))

Conséquemment, quelque soit deg(P(X)), phi(E) donne dans E.

2°)Pour le PGCD, on remarque 1 comme racine évidente. dans les deux polynomes. Tu decomposes les deux en mettant X-1 en facteur, tu trouves les racines de X^4-X, et tu vérifies qu'elles ne sont pas racines de X^4-5X^2+4 .
Ainsi, PGCD=X-1

Comme X-1 est PGCD, tu peux l'enlever dans le rapport de tes deux polynomes.
Soit Q1=X^4-X/(X-1) et Q2=(x^4-5X²+4)/(X-1)
On cherche Q1*P(X)/Q2=P2 avec P2 un polynome => on ne veut pas de reste.
On calcule Q2 et on trouve X+X²+X^3.
Comme Q1 et Q2 ne se divise pas, on a nécessairement P multiple de Q2, soit P multiple de X+X^2+X^3 d'ou ker(phi)=X+X²+X^3

Concernant l'image, je n'ai pas compris pour moi phi(ker(phi))=0...
Les valeurs propres de Phi, sont celles du diviseur, donc 1,0,j et j².
Phi est engendré par X(X-1)(X-j)(X-j²). Bon après pour les espaces propres je ne suis pas vraiment sûr de ce que je raconte ne connaissant pas vraiment mon cours d'espaces vectoriels.

En espérant avoir pu t'aider...

[blowcoxx]

Je croi qu'il y'a un problème dans l'énoncé (ou alors je me serais trompé) car je trouve X^3+X²-4x-4 pour le noyau...

Ensuite pour l'image moi non plus je ne vois pas comment faire...
Merci de votre aide!!