Logarithmes suite term s

[djeydjey]

bonjour, jai un exercice concernant les logarithmes et les suites a realiser, il me pose beaucoup de problemes, si quelquun pouvait maider..
Partie a
On considère la fonction A définie sur ]0;+linfini[ par :
A(x)= ln(x+1)–lnx–(1/(x+1))

1. déterminer la limite en 0 et la limite en + l’infini de A
2. a. Étudier le sens de variation de A
b. dresser le tableau de variation de A
3. determiner le signe de A(x) suivant les valeurs de x.


Partie b
On considère la fonction f définie sur ]0 ; + l’infini[ par :
f(x)= xln(x+1)–xlnx

1 a. déterminer la limite de f en + l’infini
b. démontrer que f admet un prolongement par continuité en 0. on notera f’ ce prolongement par continuité
2. étudier la dérivabilité de f’ en o
3. a. étudier le sens de variation de f’
b.dresser le tableau de variation de f’

4.on considère la fonction g definie sur ]0 ;+ l’infini[ par
G(x)=(x+1)ln(x+1)–(x+1)lnx
déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition
étudier les variations de g et dresser son tableau de variations

partie c
on considère les suites (un) et (vn) définies par :
n E N*, un= (1+ 1/n)^n et vn= (1+ 1/n)^n+1

1. vérifier que n E N* ln(un)= f(n) et ln(vn) = g(n)
2. déterminer lim n tend vers + linfini de un et lim n tend vers + l’infini de vn
3. démontrer que n E N*, 2<=un4. démontrer que n E N*, 2/n <= vn-un < 4/n
5. déterminer p N tel que up soit une valeur approchée de e a 10^-3 près. Donner un a 10^-3 près

[Noemi]

Indique tes réponses et les questions qui te posent problème.

[djeydjey]

je nai pas eu de probleme avec la partie a qui est independante des deux autres, par contre je nai pas du tout reussi la partie b et la partie c

[anima]

Partie b
On considère la fonction f définie sur ]0 ; + l’infini[ par :
f(x)= xln(x+1)–xlnx

1 a. déterminer la limite de f en + l’infini

Cette question est facile si tu vois le truc.
.
Les facon assez intelligente:
Or, ln(a)-ln(b) = ln(a/b).

Si tu connais les développements limités, tu sauras que . avec x->0. On a ce cas en posant X=1/x dans notre cas.
.
Limite 1.

Encore mieux, si tu connais le théoreme de l'Hopital, tu peux dire que si f'/g' -> a, alors f/g -> a en un point donné.
Posons X=1/x. On a donc X->0 et
Posons et
Dans ce cas: et
On a donc quand X->0. Donc, f/g -> 1 quand X->0+, donc quand x->+inf...
Théoreme de l'Hopital, je t'aime

b. démontrer que f admet un prolongement par continuité en 0. on notera f’ ce prolongement par continuité

Définition d'un prolongement par continuité? fonction tendant vers une valeur fixe.

Propriété du logarithme: en cas de forme indéterminée, les puissances de x l'emportent sur tout logarithme (démontrable). f(x) -> 0 quand x->0.

2. étudier la dérivabilité de f’ en o

ou Théoreme de l'Hopital pour fonctions continues, au choix...

partie c
on considère les suites (un) et (vn) définies par :
n E N*, un= (1+ 1/n)^n et vn= (1+ 1/n)^n+1

1. vérifier que n E N* ln(un)= f(n) et ln(vn) = g(n)

Difficulté? Aucune.
ln(un) = nln(1+1/n).
ln(vn) = (n+1)ln(1+1/n).

2. déterminer lim n tend vers + linfini de un et lim n tend vers + l’infini de vn

Memes limites que tes fonctions.

J'écrirai la suite quand je me serai un peu reposé

[le_fabien]

salut à tous
partie b.
1a. f(x)=xln((x+1)/x))
lim x tend +inf ((x+1)/x)=1 donc lim x tend +inf (ln((x+1)/x)=ln1=0
d'où lim x tend +inf f(x)=+inf
j'ai utilisé les limites des fonctions composées que tu as vu en cours
b.prendre la forme f(x)=xln(x+1)-xlnx
avec lim x tend 0 xlnx=0 (cours terminale S) et lim 0 xln(x+1)=0*ln1=0
donc f est continue en 0 et f(0)=0
2.pour la dérivabilité:
(f(x)-f(0))/(x-0)=ln(x+1)-ln(x)=ln((x+1)/x)=ln(1+1/x) ce terme tend vers +inf lorsque x tend vers 0 donc f n'est pas dérivable en 0
3.tu remarques que f'(x)=A(x) et tu utilises la partie a pour répondre aux questions
partiec.
cela me semble assez facile
tiens nous au courant si tu as des problèmes.

[djeydjey]

je vous remerice pour toutes ces reponses et indications, je devrais m'en sortir sans trop de soucis, seulement en ce qui concerne la partie c, je n'arrive pas à demontrer les encadrements, si vous pouviez me donner quelques indications.. merci d'avance

[djeydjey]

je ne trouve toujours pas les trois dernieres questions de la partie c, si quelquun pouvait me donner des indications... merci d'avance