Exercice ** (études de fonctions logarithmes)

[achibalba]

Bonjour, j'aimerai avoir un peu d'aide pour un exercice. J'ai réussi la partie A mais je bloque à partir de la question 3 de la partie B. :mur:
Si vous pouviez m'aider ce serait sympa. :lol3:
(Je vous mets l'énoncé dessous et les réponses sans tous les détails des questions déjà faites)

Énoncé :

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire.

On considère la fonction g définie sur ]0;+oo[ par :
g(x) = x² - 1/x² - 4lnx

1. Étudier les variations de g. Préciser g(1).
2. En déduire le signe de la fonction g sur chacun des intervalles ]0;1[ et ]1;+oo[.


Partie B : Étude d'une fonction.

On considère la fonction f définie sur ]0;+oo[ par :
f(x) = (1/4)x² + (1/4x²) - (lnx)²

1. Montrer que pour tout réel x>0, f(x)=f(1/x).
2. Déterminer la limite de f en +oo (on pourra mettre x² en facteur dans l'expression de f(x)). Déterminer la limite de f en 0.
3. En utilisant la partie A, étudier le sens de variation de f sur l'intervalle ]0;+oo[.
4. On nomme C la représentation graphique de f dans un repère orthonormal ; unité graphique 5 cm. Tracer C.

Partie C : Résolutions approchées d'équations.

1. Montrer que l'équation f(x)=x admet une seule solution sur ]0;1[ (on pourra étudier le sens de variation de la fonction h définie sur ]0;1[ par h(x)=f(x)-x).
On nommera a cette solution.
2. Montrer que l'équation f(x)=1/x admet une seule solution sur ]1;+oo[.
On nomme b cette solution. Montrer que ab=1.
3. Déterminer un encadrement de b d'amplitude 0.001. En déduire un encadrement de a.

PISTE :
Partie A : Remarquer que g'(x) est du signe de (x²-1)²
Partie B : Factoriser f'(x) par 1/2x
Partie C : Remarquer que le sugne de h'(x) est immédiat


Réponses :

Partie A :

1. g'(x) = (2/x^3)(x² - 1)²
g'(x)>= 0 sur ]0;+oo[ donc g croissante sur ]0;+oo[
g(1) = 1 - 1 - 4ln 1 = 0

2. Pour x appartient ]0;1[, g est strictement croissante, et x g(x)1 => g(x)>g(1) donc g(x)>0.


Partie B :

1. Il suffit de remplacer x par 1/x et on trouve f(x)=f(1/x).

2. f(x) = x² [1/4 + 1/4x^4 - ((lnx) / x)²]
lim f(x) quand x tend vers +oo = + oo
lim f(x) quand x tend vers 0+ = lim f(1/x) quand x tend vers 0+ = lim f(X) quand X tend vers +oo = + oo (car lim 1/x quand x tend vers 0+ = +oo).

3. J'ai dérivé f(x) et j'arrive à f'(x) = 1/2x (x² - 1/x² - 4 ln x)
Voilà mais après je sais pas quoi faire...

Merci d'avance.

[Manny06]

Bonjour, j'aimerai avoir un peu d'aide pour un exercice. J'ai réussi la partie A mais je bloque à partir de la question 3 de la partie B. :mur:
Si vous pouviez m'aider ce serait sympa. :lol3:
(Je vous mets l'énoncé dessous et les réponses sans tous les détails des questions déjà faites)

Énoncé :

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire.

On considère la fonction g définie sur ]0;+oo[ par :
g(x) = x² - 1/x² - 4lnx

1. Étudier les variations de g. Préciser g(1).
2. En déduire le signe de la fonction g sur chacun des intervalles ]0;1[ et ]1;+oo[.


Partie B : Étude d'une fonction.

On considère la fonction f définie sur ]0;+oo[ par :
f(x) = (1/4)x² + (1/4x²) - (lnx)²

1. Montrer que pour tout réel x>0, f(x)=f(1/x).
2. Déterminer la limite de f en +oo (on pourra mettre x² en facteur dans l'expression de f(x)). Déterminer la limite de f en 0.
3. En utilisant la partie A, étudier le sens de variation de f sur l'intervalle ]0;+oo[.
4. On nomme C la représentation graphique de f dans un repère orthonormal ; unité graphique 5 cm. Tracer C.

Partie C : Résolutions approchées d'équations.

1. Montrer que l'équation f(x)=x admet une seule solution sur ]0;1[ (on pourra étudier le sens de variation de la fonction h définie sur ]0;1[ par h(x)=f(x)-x).
On nommera a cette solution.
2. Montrer que l'équation f(x)=1/x admet une seule solution sur ]1;+oo[.
On nomme b cette solution. Montrer que ab=1.
3. Déterminer un encadrement de b d'amplitude 0.001. En déduire un encadrement de a.

PISTE :
Partie A : Remarquer que g'(x) est du signe de (x²-1)²
Partie B : Factoriser f'(x) par 1/2x
Partie C : Remarquer que le sugne de h'(x) est immédiat


Réponses :

Partie A :

1. g'(x) = (2/x^3)(x² - 1)²
g'(x)>= 0 sur ]0;+oo[ donc g croissante sur ]0;+oo[
g(1) = 1 - 1 - 4ln 1 = 0

2. Pour x appartient ]0;1[, g est strictement croissante, et x g(x)1 => g(x)>g(1) donc g(x)>0.


Partie B :

1. Il suffit de remplacer x par 1/x et on trouve f(x)=f(1/x).

2. f(x) = x² [1/4 + 1/4x^4 - ((lnx) / x)²]
lim f(x) quand x tend vers +oo = + oo
lim f(x) quand x tend vers 0+ = lim f(1/x) quand x tend vers 0+ = lim f(X) quand X tend vers +oo = + oo (car lim 1/x quand x tend vers 0+ = +oo).

3. J'ai dérivé f(x) et j'arrive à f'(x) = 1/2x (x² - 1/x² - 4 ln x)
Voilà mais après je sais pas quoi faire...

Merci d'avance.

f'(x) =(1/2x)*g(x) et tu connais le signe de g(x)

[achibalba]

f'(x) =(1/2x)*g(x) et tu connais le signe de g(x)

Ok merci. Et pour la question 1 de la partie C faut faire comment ? Parce que si je sais comment faire la question 1 je pourrai surement faire la 2 et la 3.

[vincentroumezy]

Tu devrais suivre l'indication de l'énoncé en étudiant le signe de h(x)=f(x)-x sur R+ (par exemple chercher le sens de variations sur certains intervlles, et en déduire grâce à certaines valeurs, le signe de h).