Avec les logarithmes (suite : ça se complique !)

[Anonyme]

Dans mon sujet : "Avec les logarithmes", je vous demandais de l'aide pour la
résolution de l'équation d'entiers : n^(n+1) = (n+1)^n .

Le pape m'avait donné une idée belle et simple pour résoudre le problème.
Mais j'aimerais maintenant résoudre plus généralement l'équation d'entiers
naturels : p^q = q^p , pentiers recherchés n'étant plus consécutifs, le problème se complique. Je ne
vois pas comment procéder ici !

Merci d'avance,

Crystal

[Anonyme]

Crystal wrote:
> Dans mon sujet : "Avec les logarithmes", je vous demandais de l'aide
> pour la résolution de l'équation d'entiers : n^(n+1) = (n+1)^n .
>
> Le pape m'avait donné une idée belle et simple pour résoudre le
> problème. Mais j'aimerais maintenant résoudre plus généralement
> l'équation d'entiers naturels : p^q = q^p , p réponses triviales). Or les entiers recherchés n'étant plus
> consécutifs, le problème se complique. Je ne vois pas comment
> procéder ici !

p^q=q^p ln(p)/p = ln(q)/q ; on étudie la fonction x -> ln(x)/x (qui
est croissante sur ]0,e] et décroissante sur ]e,+oo[; on en déduit que si p
est solution, p=2, et comme 2^4=4^2, c'est fini...



>
> Merci d'avance,
>
> Crystal

[Anonyme]

Crystal wrote:
> Dans mon sujet : "Avec les logarithmes", je vous demandais de l'aide pour la
> résolution de l'équation d'entiers : n^(n+1) = (n+1)^n .
>
> Le pape m'avait donné une idée belle et simple pour résoudre le problème.
> Mais j'aimerais maintenant résoudre plus généralement l'équation d'entiers
> naturels : p^q = q^p , p entiers recherchés n'étant plus consécutifs, le problème se complique. Je ne
> vois pas comment procéder ici !

ben,tu veux que ln(p)/p = ln(q)/q
si f(x)=ln(x)/x,f'(x)=(1-ln(x))/x^2
ainsi f est décroissante sur [e,+oo[ et croissante sur [e,+oo[
ainsi,en traçant la courbe de f,tu vois qu'il te faut chercher p dans
[0,e] et q dans [e,+oo[ pour espérer avoir l'égalité.
p dans [0,e],c'est p dans [0,2]
-si p=0,alors q^p=1 et p^q=0,impossible
-si p=1,1=q,or on veut pa dès que a>2 et que a=2 est la seule
solution .par suite p=2^a=4.

[Anonyme]

Merci à vous deux ;o)


"Crystal" a écrit dans le message news:
3ef9728c$0$29495$4d4eb98e@read.news.fr.uu.net...
> Dans mon sujet : "Avec les logarithmes", je vous demandais de l'aide pour
la
> résolution de l'équation d'entiers : n^(n+1) = (n+1)^n .
>
> Le pape m'avait donné une idée belle et simple pour résoudre le problème.
> Mais j'aimerais maintenant résoudre plus généralement l'équation d'entiers
> naturels : p^q = q^p , p entiers recherchés n'étant plus consécutifs, le problème se complique. Je
ne
> vois pas comment procéder ici !
>
> Merci d'avance,
>
> Crystal
>
>

[Anonyme]

Et tant qu'on y est, comment résoudre :

3^(x+2) + 9^(x-1) = 1458

On a évidemment envie d'écrire 1458 en puissance de 3 : 1458 = 2*(3^5). Mais
après...


"Crystal" a écrit dans le message news:
3ef9728c$0$29495$4d4eb98e@read.news.fr.uu.net...
> Dans mon sujet : "Avec les logarithmes", je vous demandais de l'aide pour
la
> résolution de l'équation d'entiers : n^(n+1) = (n+1)^n .
>
> Le pape m'avait donné une idée belle et simple pour résoudre le problème.
> Mais j'aimerais maintenant résoudre plus généralement l'équation d'entiers
> naturels : p^q = q^p , p entiers recherchés n'étant plus consécutifs, le problème se complique. Je
ne
> vois pas comment procéder ici !
>
> Merci d'avance,
>
> Crystal
>
>

[Anonyme]

Crystal wrote:
> Et tant qu'on y est, comment résoudre :
>
> 3^(x+2) + 9^(x-1) = 1458
> On a évidemment envie d'écrire 1458 en puissance de 3 : 1458 = 2*(3^5). Mais
> après...

si tu poses X=3^x,tu obtiens 9X+X^2/9=1458..
je te laisse finir.

[Anonyme]

"Crystal" a écrit dans le message de news:
3ef97c10$0$29492$4d4eb98e@read.news.fr.uu.net...
> Et tant qu'on y est, comment résoudre :
>
> 3^(x+2) + 9^(x-1) = 1458
>

Essaie x^y = y^x pour x et y rationnels...

[Anonyme]

Julien Santini wrote:
> Essaie x^y = y^x pour x et y rationnels...

ça,c'est plus intéressant...
je vais m'y mettre

[cecy3]

vivivivi :--: