DM Terminale ES avec des logarithmes néperiens et des couts

[labrune2607]

Alors voilà j'ai trois exercices à faire mais je bloque à chaque fois au milieu ... Sauf pour le premier où j'ai réussis, mais j'aimerais savoir si c'est juste

Alors voici mon premier exercice :

1- Une population diminue de 7% par an . Au bout de combien d'années cette population sera-t-elle inférieur ou égale au quart de la population initiale?

Voici ce que j'ai fait :
ln(093)^n ln (0.25) / ln(0.93)
n > 19.1
n=20
Au bout de 20 ans la population sera inférieur ou égale au quart de la population initiale


2- Une population augmente de 1¨% par an. Au bout de combien d'années cette population aura-t-elle doublé?

Voici ce que j'ai fait :
ln(1.1)^n = 2
nln(1.1)= ln2
n= ln2/ln(1.1)
n=7.27
n=8

La population aura doublé au bout de 8 ans.

2e exercices :

On se propose de démontrer que lim lnx/x = 0 (quand x tend vers +00 )

1- On pose, pour tout x>0, g(x) = Vx-lnx (vx = racine de x)

a) Verifier que g'(x= = Vx-2/(2x)
b) Déduisez en le sens de variation de g
c) Déduisez en que, pour tout x>0, Vx > lnx

2-a) Demontrer que, pour tout x >(ou egale) 1,
00
x>0

Et Vx-2 >0
Vx>2

Donc cela donne de ]-00;0[ la fonction est decroissante,puis de ]0;+00[ la fonction est croissante.

c. Alors là je commence à bloquer .
Mais j'ai fait un truc : Vx-lnx >0
Donc Vx > ln x
Mais bon je ne pense pas que se soit ca.

Ensuite pour la question 2.a et b je n'y arrives pas ...


Enfin, le 3eme exo :
Partie A :
Soif f la fonction définie sur [0;50] par :
f(x) = x² +50x /(x+1) -50ln(x+1)-50
La dérivée f'(x) est égale à 2x(x-4)(x+6) / (x+1)²
La courbe (C) de f est donnée ci apres .
1- Etudiez le signe de f'(x) sur l'intervalle [0.50]
2- Dressez le tableau de variation de f sur (0.50]. On admet que f(x) s'annule pour une seule valeur alpha de l'intervalle ]0.505; déduisez en le signe de f(x) sur [0.50]
3- Donnez un encadrement de alpha par deux entiers consécutis.
Pour la suite du problème, on prendra pour alpha la plus petite de ces deux valeurs.

Partie B :
Une entreprise fabrique une quantité x exprimée en kg, d'un certain produit.
Le cout marginal C exprimé en € est définis sur [0.50] par :
C(x) = 2x + 50 /(x+1)

1- La fonction cout total, notée C(T) est la primitive de la fonction C sur [0.50] qui prend la valeur de 50 pour x=0 .
Vérifiez que CT(x) = x²+50ln(x+1)+50.
2- Le cout moyen est la fcontion Cm définie par :
Cm(x) = CT(x) / x sur ]0.50[

a/ Donnez une expression de Cm(x) en fonction de x
b/ Vérifiez que la dérivée de Cm peut se mettre sous la forme : C'm(x) = f(x) / x²

Partie C :

1- Déduisez en des resultats précédents le tableau de variation de la fonction Cm sur ]0.50]
2- Tracez dans un repère orthonormal la courbe représentative de Cm sur [1.50]
3-Quelle est la production donnant le cout moyen minimal?
Calculez alors le cout total et le cout marginal correspondant au cout moyen minimal.


Alors voici ce que j'ai fait :

Partie A
1- 2x>0 donc x>0
x-4 > 0 donc x> 4
x+6>0 donc x>-6
(x+1)² toujours positif

2- On fait le tableau avec les valeurs trouvées seulement on ne met pas le -6 et donc la fonction est décroissante de [0.4] et croissante sur [4.50]

3- 11< alpha < 12
On prend donc la valeur de 11

Partie B :

1- Je dérive C(x) et j'obtients CT(x).

2-a- Cm(x) = x²+50ln(x+1)+50 / *
b- J'ai verifié et ca marche.

Partie C :

1- Alors la je n'arrive pas à etudiez le signe pour pouvoir faire le tableau de variation
Donc je ne peux pas poursuivre l'exercice .
De plus je ne comprend pas et ne vois pas comment faire la question 3 .

J'espère que vous pourrez m'aider à avancer un petit peu
Je vous remercie d'avance et je vous souhaite de passer de bonnes fêtes de fin d'année

[Sa Majesté]

Voici ce que j'ai fait :
ln(093)^n ln (0.25) / ln(0.93)
n > 19.1
n=20
Au bout de 20 ans la population sera inférieur ou égale au quart de la population initiale


2- Une population augmente de 1¨% par an. Au bout de combien d'années cette population aura-t-elle doublé?

Voici ce que j'ai fait :
ln(1.1)^n = 2

La 1ère ligne est fausse pour les 2 exos
Il faut rédiger un minimum
Soit P la population initiale
Au bout de n années la population est 0.93^n P
Elle est inférieure au quart de la population initiale ssi
0.93^n P < 0.25 P
Ensuite on simplifie le P, on passe au log et c'est bon pour le 1
Pour le 2, c'est 1.01 et non 1.1

[labrune2607]

Merci beaucoup :)

[labrune2607]

Personne pour m'aider pour la suite?:triste:

[zaze_le_gaz]

a quelle question en es tu?

[labrune2607]

Merci de ta réponse :)
Pour l'exercice deux j'en suis a la question un c : c) Déduisez en que, pour tout x>0, Vx > lnx


Pour l'exercice trois , j'en suis à la Partie C question 1

[zaze_le_gaz]

il suffit de montrer que Vx - lnx>0 c'est a dire que g(x)>0

pour l'exo 3, a la dernier question de la partie B tu as calculer la derivée de Cm donc tu peux en deduire son tableau de variation. on a trouvé que la derivée est f(x)/x², or le signe de x² est .... et on a le tableau de variation de f donc on doit pouvoir determiner le signe de f.

[labrune2607]

Merci beaucoup pour l'exercice 2 j'avais fait :
Vx-lnx >0
Donc Vx > ln x
Mais bon après j'en fait quoi de ca? je ne penses pas que se soit ca.

Pour l'exo trois on a pas le tableau de variation de f on a juste le tableau de variation de f'
x² ets toujours positif

[zaze_le_gaz]

Enfin, le 3eme exo :
Partie A :
Soif f la fonction définie sur [0;50] par :
f(x) = x² +50x /(x+1) -50ln(x+1)-50
La dérivée f'(x) est égale à 2x(x-4)(x+6) / (x+1)²
La courbe (C) de f est donnée ci apres .
1- Etudiez le signe de f'(x) sur l'intervalle [0.50]
2- Dressez le tableau de variation de f sur (0.50].

si. tu as du faire le tableau de variation


pour l exo 2) Vx - lnx=g(x) or quel est le signe de g(x)?

[labrune2607]

Ah oui d'accord donc pour l'exo deux il faut faire : g(x) = Vx - lnx
g(x) est positif
Donc Vx-lnx >0
Donc Vx > ln x

C'est cela?

Mais après je bloque encore, je ne comprend vraiment pas l'exercice enfaite .

Et pour l'exo trois enfaite on reprend le même tableau et on rajoute encore une ligne de plus comme x² est toujours positif?
Donc le tableau ne change pas?

[labrune2607]

Arff :triste: j'y travaille tous les jours mais je n'y arrive décidement pas ... :triste:

[labrune2607]

Bon alors voilà après de multiples heures passées sur mon Dm j'ai réussi à finir l'exo 2 :)

Mais, je rencontre une difficultée a l'exo 3 :
Sur cette partie :
Partie C :

1- Déduisez en des resultats précédents le tableau de variation de la fonction Cm sur ]0.50]
2- Tracez dans un repère orthonormal la courbe représentative de Cm sur [1.50]
3-Quelle est la production donnant le cout moyen minimal?
Calculez alors le cout total et le cout marginal correspondant au cout moyen minimal.

Pour la question 1- j'ai repris le tableau precedent : Sur ]0;4[ f est decroissante et sur ]4;50[ la fonction est croissante.
Et donc je rajoute dans ce tableau la valeur : x², or x² est toujours positif donc dans le tableau je met des + dans les deux parties. Donc cela fait negatif sur ]0;4[ et positif sur ]4;50[. Donc décroissante et croissante.

Or, sur ma calculette cela me met que la courbe est toujours croissante, donc je ne comprend pas. J'ai fait une érreur?

Merci de vos réponses.

[Sa Majesté]

Pour la question 1- j'ai repris le tableau precedent : Sur ]0;4[ f est decroissante et sur ]4;50[ la fonction est croissante.
Et donc je rajoute dans ce tableau la valeur : x², or x² est toujours positif donc dans le tableau je met des + dans les deux parties. Donc cela fait negatif sur ]0;4[ et positif sur ]4;50[. Donc décroissante et croissante.

Non
Cm'(x) = f(x)/x² donc il faut s'intéresser au signe de f(x)/x², c'est-à-dire au signe de f
Voir la partie A2