Anneau commutatif

[mehdi-128]

Bonjour , je bloque sur l'exo suivant :
soit A un anneau commutatif ,soit a appartenant a A ,non nul non diviseur de 0.

Soit: f: A ->A
x->a.x

1/Montrer que f est un morphisme pour +.
2/Montrer que f est injective.
3/Montrer que a est inversible.


Pour la 1 j'ai fait : f(x+x')=a(x+x')=a.x+ax'

Pour le reste je vois pas trop ....
Merci ...

[tize]

Bonjour,
c'est assez simple, non ?
f(x)=0 ssi x=? (d'après le fait que a n'est pas un diviseur de 0)
Pour la 3) tu n'aurais pas un truc du genre A est fini ?? (je dis peut être des bêtises, j'ai pas le temps de réfléchir je dois y aller !)

[mehdi-128]

Non pour la question 3 je vois pas trop ....

[lavela]

pour la premiere n'oublie pas d'ajouter que la loi interne * est commutatif
pour l'injectivite
il faut prendre la contrapose,cad soit f(x)=f(y) cad a*x=a*y cad a*(x-y)=0
or d'apres ton hypothese a n'ent pas divisuer de o,alors a est inversible,en multipliant par l'inverse tua as x-y=0,par suite x=y

[mehdi-128]

pour la premiere n'oublie pas d'ajouter que la loi interne * est commutatif
pour l'injectivite
il faut prendre la contrapose,cad soit f(x)=f(y) cad a*x=a*y cad a*(x-y)=0
or d'apres ton hypothese a n'ent pas divisuer de o,alors a est inversible,en multipliant par l'inverse tua as x-y=0,par suite x=y

Ok merci beaucoup ...

[cesson]

le 2) est faux prends l'anneau Z et f(x) = 2x 2 n'est pas inversible par contre si A est fini aors c'est vrai

[cesson]

excuse je voulais dire le 3) et non le 2) qui est vrai et comme f est un morphisme il suffit de montrer que ker(f)={0}

[ThSQ]

A un anneau commutatif, soit a non nul non diviseur de 0
3/Montrer que a est inversible.

Ca a l'air clairement faux : tout anneau intégre serait un corps dans ce cas (contrex évian : K[X])

Par contre c'est vrai si A est fini car alors f étant injective devient bijective et donc il y a un b tq ab=1