RadarX : d'abord il est précisé que A n'est pas nécessairement unitaire.
Ensuite, pour passer de
à
, il y a peut-être une difficulté...
:marteau:
Voici une démo qui m'a l'air correcte, en revanche :
(1) Hypothèses : pour tout
dans A,
et
.
Soit
un élément de A. On calcule
donc
et ainsi
pour tout élément
de A.
Donc pour tous
et
dans A,
CQFD.
(2) Hypothèses : pour tout
dans A,
et
.
On se fixe deux éléments
et
de A.
Alors
et de même
.
En faisant la somme, on trouve (en utilisant l'hypothèse de départ) :
.
Multipliant à gauche par
, on trouve
.
Multipliant à droite par
, on trouve
.
Par différence, on conclut que
(3) Hypothèse : pour tout
dans A,
.
Pour tout élément
de A, on a
Soient
et
deux éléments quelconques de A.
On remarque que
.
En adaptant le raisonnement (2), on trouve que
commute avec
(l'argument crucial est le fait que
quel que soit
).
En adaptant le raisonnement (1), on prouve facilement que
et
commutent
(remarquer que
).
On a donc prouvé que
et
.
En combinant les deux, on trouve
. CQFD.