Soit A un anneau (pas forcement unitaire).
Quelque soit x appartenant à A, x^3=x et 2x=0.
Montrer que A est commutatif.
Et si c'est trop facile, il y a aussi la même chose avec 3x=0 à la place de 2x=0.
Sinon, il y a le cas general (sans 2x=0 ni 3x=0).
indic : à la première question il fallait montrer qu'avec x^3=x on a 6x=0.
A un anneau, x^3=x et 2x=0. Montrer que A commutatif
9 messages
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par RadarX » 09 Sep 2006, 22:44
Shadok a écrit:Soit A un anneau (pas forcement unitaire).
Quelque soit x appartenant à A, x^3=x et 2x=0.
Montrer que A est commutatif.
Et si c'est trop facile, il y a aussi la même chose avec 3x=0 à la place de 2x=0.
Sinon, il y a le cas general (sans 2x=0 ni 3x=0).
indic : à la première question il fallait montrer qu'avec x^3=x on a 6x=0.
Donc
En effet les hypotheses 2x = 0 ou 3x = 0 ne sont pas du tout necessaires.
[EDIT] bonne question Kazeriahm: on se demande quand meme????
par quinto » 09 Sep 2006, 22:58
Bonjour,
c'est complétement faux ...
Déjà 0^3=0 et pourtant on n'a pas 0^2=1
Sinon prend par exemple une matrice A telle que A^3-A=0.
Une telle matrice serait donnée par n'importe quelle matrice ayant des 0 et des 1 sur sa diagonale ou toute matrice semblable à une matrice de ce type.
RadarX a écrit:[TEX]x^3 = x \,==>\, x^2 = 1
c'est complétement faux ...
Déjà 0^3=0 et pourtant on n'a pas 0^2=1
Sinon prend par exemple une matrice A telle que A^3-A=0.
Une telle matrice serait donnée par n'importe quelle matrice ayant des 0 et des 1 sur sa diagonale ou toute matrice semblable à une matrice de ce type.
par Vedeus » 09 Sep 2006, 23:21
RadarX : d'abord il est précisé que A n'est pas nécessairement unitaire.
Ensuite, pour passer de
à 
, il y a peut-être une difficulté...
:marteau:
Voici une démo qui m'a l'air correcte, en revanche :
(1) Hypothèses : pour tout
dans A, et 
.
Soit un élément de A. On calcule
^2=x^2+2x^3+x^4=0)
donc
^3=(x+x^2)\times 0=0)
et ainsi
pour tout élément de A.
Donc pour tous et 
dans A,
^2-(x+y)=0)
CQFD.
(2) Hypothèses : pour tout dans A, et 
.
On se fixe deux éléments et de A.
Alors^3-x^3-y^3=x+y-x-y=0)
et de même
.
En faisant la somme, on trouve (en utilisant l'hypothèse de départ) :
.
Multipliant à gauche par, on trouve
.
Multipliant à droite par, on trouve
.
Par différence, on conclut que
(3) Hypothèse : pour tout dans A, .
Pour tout élément de A, on a ^3-2.x=0)
Soient et deux éléments quelconques de A.
On remarque que=0=2.(3.x))
.
En adaptant le raisonnement (2), on trouve que
commute avec
(l'argument crucial est le fait que
quel que soit 
).
En adaptant le raisonnement (1), on prouve facilement que
et 
commutent
(remarquer que=2.(3.y)=2.(3.x+3.y)=0)
).
On a donc prouvé que=0)
et =0)
.
En combinant les deux, on trouve
. CQFD.
Ensuite, pour passer de
:marteau:
Voici une démo qui m'a l'air correcte, en revanche :
(1) Hypothèses : pour tout
Soit
et ainsi
Donc pour tous
(2) Hypothèses : pour tout
On se fixe deux éléments
Alors
et de même
En faisant la somme, on trouve (en utilisant l'hypothèse de départ) :
Multipliant à gauche par
Multipliant à droite par
Par différence, on conclut que
(3) Hypothèse : pour tout
Pour tout élément
Soient
On remarque que
En adaptant le raisonnement (2), on trouve que
commute avec
(l'argument crucial est le fait que
En adaptant le raisonnement (1), on prouve facilement que
(remarquer que
On a donc prouvé que
En combinant les deux, on trouve
par RadarX » 09 Sep 2006, 23:27
Shame on me!
Absolument daccord avec vous tous. x n'est pas forcement inversible!! J'ai commis l'erreur de me placer dans un corps!!!!
Merci.
Absolument daccord avec vous tous. x n'est pas forcement inversible!! J'ai commis l'erreur de me placer dans un corps!!!!
Merci.
par RadarX » 09 Sep 2006, 23:40
Non c'est parce que je fais beaucoup de theorie des groupes en ce moment et j'ai donc du me placer inconsciemment dans une telle structure ou l'element symetrique est de rigueur!
Encore une fois: Shame on me!
Encore une fois: Shame on me!
par Vedeus » 10 Sep 2006, 09:38
Pour la troisième étape de mon raisonnement, on peut en fait s'appuyer
de façon plus directe sur les précédentes, en raisonnant comme suit :
on introduit les idéaux bilatères
et
de l'anneau A.
Le morphisme canonique
est alors injectif
(si un élément x vérifie 3.x=0 et 2.x=0, alors x=0).
L'anneau
vérifie les hypothèses (1),
et l'anneau
vérifie les hypothèses (2).
Ces deux anneaux sont donc commutatifs, et puisque A est isomorphe à un sous-anneau de leur produit, il est lui-même commutatif.
En fait, A est même isomorphe à l'anneau produit
.
En effet, si on prend deux éléments et 
de A,
l'élément
est congru à modulo 
et à modulo 
, ce qui assure que 
est surjective.
de façon plus directe sur les précédentes, en raisonnant comme suit :
on introduit les idéaux bilatères
et
Le morphisme canonique
(si un élément x vérifie 3.x=0 et 2.x=0, alors x=0).
L'anneau
et l'anneau
Ces deux anneaux sont donc commutatifs, et puisque A est isomorphe à un sous-anneau de leur produit, il est lui-même commutatif.
En fait, A est même isomorphe à l'anneau produit
En effet, si on prend deux éléments
l'élément
et à
est surjective.
par Shadok » 10 Sep 2006, 09:40
Vedeus a écrit:RadarX : d'abord il est précisé que A n'est pas nécessairement unitaire.
Ensuite, pour passer de
:marteau:
Voici une démo qui m'a l'air correcte, en revanche :
(1) Hypothèses : pour tout
Soit
et ainsi
Donc pour tous
(2) Hypothèses : pour tout
On se fixe deux éléments
Alors
et de même
En faisant la somme, on trouve (en utilisant l'hypothèse de départ) :
Multipliant à gauche par
Multipliant à droite par
Par différence, on conclut que
(3) Hypothèse : pour tout
Pour tout élément
Soient
On remarque que
En adaptant le raisonnement (2), on trouve que
commute avec
(l'argument crucial est le fait que
En adaptant le raisonnement (1), on prouve facilement que
(remarquer que
On a donc prouvé que
En combinant les deux, on trouve
Merci beaucoup. Et pour repondre à ceux d'en haut c'était de l'aide qui était demandée. :we:
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