bidege a écrit:Je suis completement bloquée à partir de la question b).
J'ai montré qu'il esxistait un polynôme du second degré dans l'ensemble E, avec la méthode par identification, mais je ne comprends meme pas l'énoncé de la question b).
Quelqun pourrait-il m'aider????? Merci d'avance !!Soit E l'ensemble de des fonctions x
(x) dérivables sur ]0 ; +;)[ et telle que pour tout x strictement positif x
'(x) + 2;)(x)=4x².
a) Existe t-il une fonction polynôme du second degrés dans l'ensemble E ?
Peut etre. Preuve par l'absurde ou preuve tout court...
Supposons que
(x)=ax^2+bx+c.
Alors,
'(x)=2ax+b
Alors, x;)'(x)+2;)(x)=4x^2
x(2ax+b)+2(ax^2+bx+c)=4x^2
2ax^2+2bx+2ax^2+2bx+c = 4x^2
4ax^2+4bx+c = 4x^2
a = 1, b = 0, c = 0.
(x)=x^2.
b) Montrer que la fonction x
(x) dérivable sur ]0 ; +;)[ fait partie de l'ensemble E si, et seulement si, la fonction x;) x² (;)(x)-x²)=h(x) reste constante.
On a prouvé que
(x)=x^2 était une solution particuliere de l'EC. On se propose donc de trouver toutes les solutions de l'EC en procédant par théorie: une solution générale d'une EC du premier ordre est la somme de la solution générale de l'EH et d'une solution particuliere de l'EC.
Donc,
(x)=t(x) + x^2.
Et donc, h(x) = x^2(t(x)-x^2+x^2) = x^2t(x).
Or, t(x) = K y(x), K Df.
On se propose ensuite de trouver la solution genérale de l'EH...
Soit xy'+2y=0; y=0 sol.
Pour tout y différent de 0 sur R, on a donc...
xy'=-2y
y'/y = -2/x
ln(y) = -2ln(x)+c = ln(x^{-2})
y = 1/x^2+c
Et la, hourra! On a donc prouvé que... A toi de compléter. Si t'as suivi, ca coule de source.
