Espaces de polynomes

[minirop]

bonjour,
toujours dans mes révisions j'en suis à un exercice sur les polynômes et j'aimerais un peu d'aide, le voici :

Soit l'ensemble des polynômes de degré au plus 3 à coefficients réels.
Soient P1,P2,P3,P4 les polynômes suivants :

Questions :

1/ Prouver que la famille B = {P1,P2,P3,P4} est une base de E

je capte presque rien aux espaces polynômiales

2/ Soit u l'application de E dans E, définie par :
(P' = dérivé de P)

a) Prouver que u est linéaire
b) Calculer pour i = 1,2,3,4
c) En déduire la matrive u dans la base B

a) toujours
b) je trouve (vérifiés avec scilab donc logiquement bons) :




c) je trouve :


voilà, j'aimerais savoir si mes calculs sont justes.
Et pour les questions avec , c'est que j'ai besoin d'un peu d'aide.

merci.

[Sylar]

Bonjour:

card( P1,....,P4)=4=dimR3[X]

Il suffit de montrer que (P1,P2,P3,P4) est libre .

On suppose: a.P1 +b.P2+c.P3+d.P4=0

Tu montres aisément que a=b=c=d=0

PS:le polynome nulle a tous ses coefficiants nuls ....

[Sylar]

u(P)=X.P' -2.P

C'est linéaire par linéarité de la dérivation ...

u(a.P+b.P')= a.u(P)+b.u(P')

[minirop]

On suppose: a.P1 +b.P2+c.P3+d.P4=0

Tu montres aisément que a=b=c=d=0

en utilisant la matrice donnée plus haut (si tenté quelle est bonne), on obtient :

CQFD !

u(P)=X.P' -2.P
C'est linéaire par linéarité de la dérivation ...
u(a.P+b.P')= a.u(P)+b.u(P')

c'est à dire j'ai pas très bien compris le rapport entre u(P) et u(a.P+b.P')

merci.

[Sylar]

Tu connais la linéarité :

Tu prends 2 réels a et b ,2 polynomes Pet Q et tu dois montrer:


u(a.P+b.Q)=a.u(P)+b.u(Q) !

[Joker62]

Ta matrice est fausse :)

En faisant U(P_i) tu dois trouver a,b,c,d tel que

U(P_i) = aP_1 + bP_2 + cP_3 + dP_4

Le vecteur colonne (a,b,c,d) est alors celui qui doit apparaître dans ta matrice.

[minirop]

Ta matrice est fausse

En faisant U(P_i) tu dois trouver a,b,c,d tel que

U(P_i) = aP_1 + bP_2 + cP_3 + dP_4

Le vecteur colonne (a,b,c,d) est alors celui qui doit apparaître dans ta matrice.

merci, en faisant ces calculs j'obtiens :

là c'est mieux ?

dernière chose, dans un autre exo, on demande de calculer le determinant d'une matrice (3*3) ayant une variable "a".
Je trouve pas la même chose que scilab, car il semblerait qu'il faut inverser l'ordre de calcul pour la 2ème valeur.
voilà la matrice :

si on calcul par rapport à la 1ère ligne, la deuxième valeur doit donner :

or avec scilab je trouve !

l'ordre n'est pas le même, pourquoi ? (au lieu de faire ad-bc il fait bc-ad :s )
merci