Dimension des espaces de polynômes homogènes stables par S3

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Archytas
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Dimension des espaces de polynômes homogènes stables par S3

par Archytas » 21 Sep 2016, 19:06

Salut :) ,
On se place dans et on fait agir le groupe des permutations de 3 éléments par permutation des variables X, Y et Z d'un polynômes sur A. On pose le sous espace des polynômes complexes homogènes de degré k. Je me suis amusé à calculer les dimensions des sous espaces de stables par l'action de grâce au théorème de Molien et je tombe sur une formule horrible en fonction de k que je n'arrive pas à simplifier. Pourtant ça a l'air assez facile de s'en sortir avec une petite formule de combinatoire. Quelqu'un aurait un lien vers la formule donnant ces dimensions en fonction de k? Je ne trouve pas sur internet.
Merci d'avance (=



Doraki
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Re: Dimension des espaces de polynômes homogènes stables par

par Doraki » 21 Sep 2016, 19:31


Archytas
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Re: Dimension des espaces de polynômes homogènes stables par

par Archytas » 21 Sep 2016, 23:14

Wahou super ce site! On dirait que c'est ça colle pour les premières valeurs! Mais y a pas d'expression de a(n) en fonction de n donc je peux pas vérifier ma formule horrible :(.
Même si je vois pas le rapport avec les polynômes homogènes j'imagine qu'on peut mettre une base de polynômes homogènes invariants par S3 en bijection avec un des ensembles décrits, même si j'y arrive pour aucun. Comment vous avez trouvé ça?

Doraki
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Re: Dimension des espaces de polynômes homogènes stables par

par Doraki » 22 Sep 2016, 01:57

Ben j'ai tapé les premiers nombres de la suite et le site a fait le reste.

Tout en bas de la liste des trucs à quoi cette suite correspond, il y a
"Also Molien series for invariants of finite Coxeter groups D_3 and A_3. - N. J. A. Sloane, Jan 10 2016"

(D3 est isomorphe à S3 donc ça colle, par contre pour son A3 j'ai comme un doute)

Pour ce qui est d'une formule, il y en a une poignée dans la section formules.
Déjà il y a sa fonction génératrice 1/((1-x)(1-x^2)(1-x^3)) qui est ce que tu devrais obtenir avec la formule de Molien.

Si je me souviens bien, a(n) est un polynôme de degré 2 par morceaux (ses coefficients dépendent de n mod 6 normalement) ou dit autrement, a(6n), a(6n+1), ..., a(6n+5) sont tous des polynômes de degré 2 en n.

Archytas
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Re: Dimension des espaces de polynômes homogènes stables par

par Archytas » 22 Sep 2016, 08:11

Dans ma référence ils ont des fractions rationnelles différentes pour S_3 et A_3 donc en effet il y a aucune chance pour que le développement soit le même :).
Oui exact, l'horreur de ma formule vient probablement du faire j'ai voulu avoir une écriture générale mais en écrivant les a(6n), ..., a(6n+5) ça devient bien des choses plus simples! Merci beaucoup Doraki!

 

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