Définition "Bizarre" !

[Enim]

Bonsoir pour tous le monde dans cette super forum :++: :
J'ai trouvé la définition si dessous dans un livre de mathématique:

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a un réel de I
f(a)+f'(a).h est une approximation affine de f(a+h) et on écrit:
f(a+h)f(a)+f'(a).h pour h voisin de zéro.

1/ Comment faire la démonstration de cette définition ?
2/ Comment h voisin de zéro ? Est-ce que 5 ou même 20 voisin de zéro ?
3/ Mon {cher :zen: } prof de math m' a dit que les calculatrices utilisent cette méthode pour faire tous les opération(avoir une approximation). Comment?

Merci

[prody-G]

salut

tu es en seconde ? première ?

1/ Par définition : le nombre dérivé de f (f doit être continue) en a est noté f'(a) et
c'est-à-dire pour h très petit (inférieur à 1 généralement suffit pour être considéré comme petit).
Donc tu obtiens en multipliant l'équation par h puis en ajoutant f(a) à chaque membre de l'équation la dite approximation de f(a+h).
3/ "très" utilisée pour donner des approximations de racine carrée par exemple.
Exemple : et à la calculette tu trouves

[emdro]

Hello,

1) On ne démontre pas une définition! C'est juste un nom qu'on donne à quelque chose.
Ensuite si tu as vu le chapitre des dérivées, tu sais que si on trace la tangente à la courbe de f en A(a,f(a)), une équation de cette tangente est y=f(a)+(x-a)f'(a). Si tu prends x=a+h, cela te donne y=f(a)+hf'(a).

Pour les fonctions pas trop méchantes, la courbe ne s'éloigne pas trop vite de sa tangente. Donc f(a+h) est proche de f(a)+hf'(a).

2) Tu vois que l'idée de h proche de 0 dépend de la vitesse à laquelle la courbe s'éloigne de sa tangente. Cela dépend aussi de l'exigence de proximité que tu désires entre f(a+h) et f(a)+hf'(a). Tu quantifieras cela plus tard (car on peut continuer cette approximation)

3)Il est probable que les calculatrices utilisent ce genre d'approximations, mais plus poussées.
Par exemple

Tu reconnais au début l'approximation affine (1+x/2) et tu vois qu'on peut poursuivre si on n'est pas assez satisfait. On n'approxime plus la courbe par une droite, mais par un polynôme. Cela s'appelle un Développement limité à l'ordre 4, par exemple.

Essaie

Réponds à la question: est-ce une approximation suffisante?
Tu vois cela dépend de ce que tu veux en faire.
Du coup la réponse à ta question initiale (quand peut-on dire que h est proche de 0) doit être mise en relation avec:
* l'exigence de précision que tu as sur le résultat final
* le degré de "méchanceté" de la fonction, qui parfois s'amuse à s'éloigner de sa tangente le plus vite possible!

[prody-G]

ah ui effectivement le critère de "vitesse de croissance" est à prendre en compte :++:
Pour et c'est pas qu'un seul millième de différence à mon avis...