Signe d'une matrice

[boycow100]

Bonjour,

Soit A une matrice diagonalisable sur R de valeurs popres x1,...,xn; et P une matrice de vecteurs propres associée. On note P1 l'inverse de P.

On définit le signe de A par:

sign(A) = (P) * diag(sign(x1),...,sign(xn)) * (P1)

Je veux montrer que cette définition ne dépend pas de la matrice R choisit.

Merci de m'aider.

a+

[fahr451]

bonjour

si R est ce que je crois (ce n'est pas clair)

sgn(A) = A et la notion perd quelque peu de son intérèt

[boycow100]

bonjour

si R est ce que je crois (ce n'est pas clair)

sgn(A) = A et la notion perd quelque peu de son intérèt

Désolé, j'ai vraiment ecrit n'importe quoi la premiere fois...Je viens de modifier mon premier message...
Merci de ta reponse.
Maintenant que ce que j'ai ecrit est correct, pouvez-vous m'aider?

a+

[fahr451]

modulo le problème de la valeur à attribuer à sign (0)
en notant plutôt
L1 , ..., Lk les valeurs propre s distinctes avec L1E un R ev de dim n de base e avec f endo de E de matrice A dans la base e
E1 , ..., Ek les sous espaces propres associés

l'endomorphisme g défini par g(x) = sign(Li) x si x est dans Li

a pour matrice dans TOUTE base e' de E formée par concaténation d'une base de E1 , de E2, ...,Ek la matrice :

D ' = Diag( signL1 , ...sign Lk)

et la matrice de g dans la base e initiale est

P D ' P^(-1) = sign (A) , avec P la matrice de passage de e à e'

ce qui prouve que sign(A) ne dépend que de f , e et non de e'

[boycow100]

l'endomorphisme g défini par g(x) = sign(Li) x si x est dans Li

Bonjour,

Euh j'ai pas bien compris ta preuve...
Je pense deja qu'il y a une petite faute dans la definition de g; tu veux dire x dans Ei ? Mais dans le cas où x a des composantes sur plusieurs Ei, tu definis comment la valeur de g(x)?

Je pense qu'il doit y avoir une preuve matricielle, mais je ne vois pas laquelle....*

Enfin, si tu peux encore m'eclairer un peu !!

merci

A+

[fahr451]

oui x dans Ei
l' algèbre linéaire c'est des vecteurs des espacesvectoriels
les matrices ne sont qu'un moyen de calcul qui a le mauvais goût de dépendre a priori de la base

tout vecteur x s'écrit de façon unique x = x1+...+xk et donc g est parfaitement défini car linéaire

[boycow100]

Merci beaucoup, je pense avoir compris!

Ca marche même avec des valeurs propres multiples du moment qu'on est bien diagonalisable! ca marche aussi en posant sign(0)=0 !
Dans le cas de valeurs propres multiples, il suffit de considerer les sous espaces propres associés comme des espaces vectoriels de dimension la multiplicité de la valeur propre; on a donc une base de cette dimension! ensuite on construit ta base e' de la meme maniere!!!

je resume pour voir:

On considère A représentée dans la base canonique de R^{k}; on suppose A diagonalisable sur R avec ses valeurs propres L1<=L2<=...<=Lp et E1,E2,...,Ep les sous espaces propres associés.
Pour tout i=1..p, quelque soit la base de Ei choisie, on peut construire une base de R^{k} par concatenation des bases des Ei. Enfin dans cette base, g est représentée par la matrice D' (et cela quelque soit la base construite).
Ensuite la matrice P de passage de la base canonique à notre nouvelle base n'est en faites qu'une matrice constituée de vecteurs propres de A, et on a sgn(A)=P*D'*P^{-1}.
Mais on vient de voir que le resultat serais le meme avec n'importe quelle base e' donc n'importe quelle matrice de passage de e à e', donc pour n'importe quelle matrice de vecteur propres de A.

J'ai bien tout résumé ?

Merci de ton aide! !!

A++

[fahr451]

oui le point clé étant que
PD'P^(-1) est la matrice de g dans la base canonique donc ne dépend que de g et de la base canonique et de rien d'autre

voila pourquoi j 'ai construit g sans référence à une base