équation matricielle

par **grabote** » 10 Juin 2007, 15:52

Bonjour,
Je cherche à résoudre l'équation exp(M)=In dans Mn(C).

Mon prof a juste donné quelques indications pour la résoudre:

toute matrice solution est diagonalisable, mais je n'arrive pas à le montrer...

Les solutions "semblent" être les matrices semblables aux matrices 2*Pi*lambda*In, où lambda est un entier relatif, mais encore une fois je ne sais pas pas où commencer la démonstration...

Une indication? Merçi d'avance.

par **fahr451** » 10 Juin 2007, 16:35

bonsoir ce n'est pas si évident

1 se placer dans un sous espace caractéristique Fi
2 utiliser la décomposition f i = di +ni dans ce sous espace
3 prendre les exp qui commutent
4 exp ni = id Fi en utilisant le polynôme minimal de ni donne ni = 0
5 f est diagonalisable
6 la forme de f en découle

par **grabote** » 10 Juin 2007, 16:42

fi = di +ni, c'est la décomposition de Dunford?

Je n' ai pas bien compris l'étape 4...
Est-ce que Exp(Fi)=idientité?

par **SimonB** » 10 Juin 2007, 16:47

grabote a écrit:fi = di +ni, c'est la décomposition de Dunford?

Oui.

[QUOTEJe n' ai pas bien compris l'étape 4...
Est-ce que Exp(Fi)=idientité?[/quote]

Exp(ni), oui (identité sur Fi).

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