Démonstration théorème

[sylvie]

bonjour; je cherche les démostrations des théorèmes suivants pour mieux les comprendre;pouvez-vous me les fournir svp:

1er théorème: soit s={v1,v2,..,vp} un ensemble orthogonal de vecteurs non uls appartenant à un sous-espace W de dimension p. Montrez que s est une base de W.

2ème théorème : soient x et y deux vecteurs de Rn . Montrez l'inégalité suivante: xTy <= ||x||.||y||


Merci. :hein:

[fahr451]

bonsoir

1) montrer que s est libre comme elle comporte p vecteurs ce sera une base de W

a1v1 +...+apvp = 0 implique en prenant le produit scalaire avec a1

a1ll v1ll^2 +0+...+0 = 0 ( v1 orthogonal aux autres) et comme v1 non nul a1 = 0

idem pour les autres ou le faire directement avec vi i quelconque

2 inégalité de cauchy schwarz
1 cas x = 0 clair , 2 ieme cas x non nul
posez pour t réel f(t) = ll tx+ yll^2 toujours positif développer

on obtient un trinôme en t , toujours positif donc le delta est négatif

calcule ce delta il donne exactement l'inégalité

[sylvie]

bonjour; merci de m'avoir répondu mais est ce que tu peux me developper les démonstrations car j'ai oublié un petit peu ces notions cause je suis en 3 année informatique et nos professeurs ne s'attardent pas sur ces notions là.
mais moi je veux me rappeler de ces théorèmes car ça m'aide dans mes recherche.
merci. :triste:

[fahr451]

pour le 1 ? qu'est ce qui bloque ?j'ai fait la preuve complète

[sylvie]

vous m'avez dit idem pour les autres; comment? et le 2ème je ne vois pas bien comment trouver l'inégalité? :triste:

[fahr451]

a1 est nul

on refait le produit scalaire avec v2 on trouve a2 = 0 etc


pour le 2) écris toi même le trinôme et dis ce que tu trouves

[sylvie]

ok; je te remercie de m'avoir répondu; je vais le calculé et te donné résulat que j'obtiendrai pour que tu me le corrige.

[Joker62]

Je la trouve super jolie la démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz
Tu peux toujours la trouver sur wiki, y'a tout là bas

http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Cauchy-Schwarz

[sylvie]

bonjour, mais mois dans le théorème que je vous ai donné c'est: X transposé Y attention ce n'ai pas la même chose, non? .

[fahr451]

x= (x1,...,xn)

y = (y1,....,yn)

considérés comme matrices lignes
xty = (x1y1+...+xnyn) est une matrice une ligne ,une colonne assimilée à un réel

c'est exactement le produit scalaire naturel dans R^n des vecteurs x et y

[sylvie]

bonjour; pour le 2ème théorème est ce que vous pouvez me l'écrire en détail svp ;pour le premier est ce que j'ai juste :

S ={v1,v2,..vp}
a1v1+a2v2+....+apvp =0 (*)
je multiplie (*) par les vecteur v1 et j'obtiens : a1||v1||^2 + 0+...+0 = 0
et comme v1 non nul et v1 orthogonale aux autres donc a1=0.
remarque: pourquoi en multipliant par v1, les autres termes sont égaux à 0.

même chose : 0+ a2||v2||^2+...+0=0
et comme v2 non nul et v2 orthogonale aux autres donc a2=0.
jusqu'à: ap||vp||^p =0 .
et comme vp non nul et vp orthogonale aux autres donc ap=0.
donc: S est est une base de w

est ce que j'ai bien écris la démonstration.

merci de votre aide. :hein:

[fahr451]

n'est-ce pas ce que j'avais écrit ?

on ne multiplie pas par v1 on prend le produit scalaire avec v1

on a v1 . V2 = 0 (sont orthogonaux) etc

[sylvie]

A d'acord j'ai compris et pour l'autre théorème, s'il vous plait veuillez me l'écrire .
merci a vous.

[fahr451]

ll tx+yll2 = t^2 ll xll^2 + 2t (x.y) +llyll^2

c'est un trinôme en t toujours positif donc son delta est négatif

delta = 4 (x.y)^2 -4 llxll^2llyll^2 =<0 et voila

[sylvie]

t c'est quoi ? est ce que c'est la transposé? vous avez dit voilà!!! est ce que la démonstration est finie; donc j'écris que xTy <= ||x|| ||y||.

[fahr451]

ah non non t est un réel ici

aie aie aie

écris le non pas avec t mais lambda si tu préfères

[sylvie]

merci pour ton aide car elle m'a été bien précieuse. :we: