Exercice trigonométrie

[soukaripa]

Bonsoir à tous :)

Alors voilà, je bloque sur une question de trigo...

Au fil de l'exercice j'ai dus démontrer que sin(a)cos(b)=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)),
et j'ai ensuite prouvé que sin(Pi/5).A=1/2(sin((Pi/5)-x)+sin(x+(9Pi/5)), avec A=cos(x)+cos(x+(2Pi/5))+cos(x+(4Pi/5))+cos(x+(6Pi/5))+cos(x+(8Pi/5)), j'en ai enfin déduit que A=0 pour tout réel x.

Je dois maintenant montrer en utilisant les résultats précédents que 1+2cos(2Pi/5)+2cos(4Pi/5)=0 :hein: J'ai tenté plusieurs démonstrations mais aucunes n'aboutient... Avez-vous des idées ?! :id:

Merci d'avance...

[oscar]

Bonsoir

1) sin a cos b =1/2(sin (a+b)+ sin(a-b)= 1/2( sin a cos b+sinbcosa++ sin a cosb
-sin b cos a) (sin b cos a est annulé)

2)sin (pi/5 -x) + sin (x+9pi/5)=
sin (pi/5-x)=sin pi/5 cos x - cos pi/5 sinx(1)
sin (x+9pi/5) = sin x cos 9pi/5 + cos x sin 9pi/5=sin x cos pi/5 -cos x sin pi/5(2)
Car cos 9pi/5 = cos pi/5 et sin 9pi/5 = - sin pi/5
On ajoute (1) et (2)=> iTout s' annule

La suite dans un instant :!:

[oscar]

Suite

On a sin pi/5 *A=1/2(sin(pi/5-x) + sin (x+9pi/5))=
Cette somme est nulle comme cela a éré démontré plus haut
Avec A=cos x+cos(x+2pi/5)+cos (x+4pi/5)+cos (x+6pi/5)+cos(x+8pi/5)=0(1)

Montrons que A= 1 + 2cospi/5+2cos 4pi/5=0
On développe
cosx + cos xcos pi/5-sinx sin pi/5+cosxcos 4pi/5-sinxsin 4pi/5
+cos xcos6pi/5-sinx sin 6pi/5+cos x cos 8pi/5 * sinx sin 8pi/5

Or cos 6pi/5= cos 4pi/5 et sin 6pi/5=-sin 4pi/5 et
cos 8pi/5= cos pi/5 et sin 8pio/5= -sin 8pi/5

Finalement il reste cos x + 2cos xcos pi/5 + 2 cos x cos 4pi/5
=> cps x(1 + 2cos pi/5 + 2 cos 4pi/5)=0 :briques: