Dm de maths suite

[stunteurX]

Voila un DM de 1ere S sur les suites.
On pose Un=1+11+111+...+111.11 ou le dernier terme est composé de n chiffres égaux à 1. Exprimer Un en fonction de n.
On note Vn=111.11 le nombre dont l'écriture décimale est composée de n chiffres égaux à 1. On a alors Un=V1+V2+V3+...+Vn.
Vérifier que la suite (Un) est arithmético-géométrique.En déduire Un.

Bon donc d'après ces informations on peut en déduire:
U0=0 ; U1=1+11=12 ; U2=1+11+111=123.
V0=0 ; V1=1 ; V2=11 ; V3=111 ; V4=1111.

Ensuite mes développements que j'ai essayé n'aboutisse à rien. Je créé une autre suite Wn je vais voir ce que sa donne...
Quelqun peut-il m'aider.
merci

[chan79]

salut
une idée
un=1+
10+1+
10^2+10+1+
10^3+10^2+10+1+
10^4+10^3+10^2+10+1+ etc
tu disposes bien et tu ajoutes ensuite colonne par colonne
un=(10^n-1)/9+(10^(n-1)-1)/9+(10^(n-1)-1)/9+...+(10-1)/9
un=(10^n+10^(n-1)+10^(n-2)+...+10+1-1-n)/9
etc
finalement

un=(10^(n+1)-9n-10)/81

[stunteurX]

moi jai créé une suite Wn=Vn-a <==>Vn=Wn+a
Wn+1=10Vn+1-a
on arrive à
Wn+1=10Wn+9a+1
on fait en sorte que 9a+1 s'annule donc pour a =-1/9
Wn est géométrique de raison 10
sachant que Wn=Vn-a
Wn=10^n x W0
dois je continuer tout çà?
je vois pu trop.
pour ce qui est de votre aide chan79, jvois pas ou je peux en venir...

[chan79]

je recommence d'une autre façon
on pose
w1=1
w2=11=10+1
w3=111=100+10+1
w4=1111=1000+100+10+1
wn=10^(n-1)+10^(n-2)+...+10+1
et donc un=w1+w2+...+wn
on calcule d'abord wn
wn=(1-10^n)/(1-10)=(10^n -1)/9
un=(10^1 -1)/9+(10^2 -1)/9+ ... + (10^n -1)/9
un=1/9(10+10²+10^3+...+10^n - n)
un=1/9(1+10+10²+10^3+...+10^n - n-1)
un=1/9((10^(n+1) - 1)/9 -n-1)
un=(10^(n+1)-9n-10)/81

[stunteurX]

oui donc ce que tu as fais j'avais essayé Wn était une suite que j'avais créé mais en fête celle que tu viens de faire reste Vn.
Je ne comprend pas tout le développement après par contre en faite Wn au début de l'exo n'existe pas, donc ça me perd la puisque toi tu l'utilise
voila merci de tn aide.

[chan79]

on recommence
un=1+11+111+111+1111+11111+...
on pose
v1=1
v2=11
v3=111
v4=1111
vn=111...111 nfois le 1
avant de calculer un en fonction de n, on calcule d'abord vn en fonction de n
v1=1
v2=1+10
v3=1+10+100=1+10+10²
v4=1+10+100+1000=1+10+10²+10^3

vn=1+10+10^2+10^3+...+10^(n-1)=(1-10^n)/(1-10)= ((10^n)-1)/9
un=((10^1)-1)/9+ ((10^2)-1)/9+ ((10^3)-1)/9+...+((10^n)-1)/9
un=1/9 (10+10²+10^3+...+10^n - n)
un=1/9 (-1+1+10+10²+10^3+...+10^n - n)
un=1/9 (-1+(1-10^(n+1))/(-9) -n)
un=1/81(10^(n+1)-1-9n-9)
un=1/81 (10^(n+1) -9n-10)

[stunteurX]

un=1/9 (10+10²+10^3+...+10^n - n)

a oui l'identité géométrique que je reconnais, je savais plus comment développer après! mais c'est bon en faite

merci

[bekhtimath]

salut
Un=1+11+111+...+111.11
9Un=9+99+999+........999....99
9=10-1, 99=10^2-1, ......999....99=10^n-1
donc 9Un=(10-1)+10^2-1)+......+(10^n-1)=(10+10^2+...+10^n)-(1+1+...+1)
10+10^2+...+10^n est la somme dune suite geom de raison r=10 et de pre term 10 donc 10+10^2+...+10^n =10 ((10^n-1)/(10-1) =(10/9)(10^n-1)
1+1+...+1 =n (n fois le nombre 1)
Et par suite 9Un =(10/9)(10^n-1)-n donc Un==(10/81)(10^n-1)-(n/9)

[stunteurX]

c'est bon j'ai tout refais ça marche.
j'arrivais pas à avancer à cause d'une erreur d'exposant.
Donc oui dès le début je mettais lancer sur ces deux techniques, j'arrive au même résultat, désormais.
merci beaucoup

[stunteurX]

derniere question.
Donc il faut montrer que Vn est arithmético-géométrique.
Donc on avait: Vn=(10^(n)-1)/9
ainsi 1/9x10^n-1/9 elle est donc arithmético-géométrique. Ma question est pour une suite arithmético-géométrique, il y t-il une raison ou d'autres choses à indiquer.
par exemple pour une suite Un+1=5Un on dit qu'elle est géométrique de raison 5.
voila merci

[chan79]

tu connais la formule pour ajouter les termes d'une suite géométrique

a+aq+aq²+.....+aq^(n-1)=(1-q^n)/(1-q)
avec q=10 et a=1 cela donne
1+10+10²+...+10^(n-1)=(1-10^n)/(-9)
je confirme qu'on trouve bien
un=1/81 (10^(n+1) -9n-10)