Suites adjacentes et limites

[sevy31830]

On définit les suites u et v par U0=3 et V0=5 et pour tout entier naturel n , U(n+1)=(2UnVn)/(Un+Vn) et V(n+1)=(Un+Vn)/2

1)Montrer que les termes sont strictemen positif
2) Montrer que pour tou entier naturel n,
V(n+1)-U(n+1)= (Vn-Un)²/2(Un+Vn)
3)On pose Wn=Vn-Un montrer que pr tout entier naturel n
0<=W(n+1)<=(1/2)Wn
b)en deduire avec un raisonnenment par récurence que pr tout entier naturel n
0<=Wn<=(1/2)^(n-1)
c)La suite Wn converge t'elle?
4)Démontrer que les suite u et v sont adjacentes.
Que peut on en déduire?
5)A l'aide de la suite (UnVn), déterminer la limite commune des suite u er v

Alors, la question 1 je sais pas comment m'y prendre étant donné que pour prouver le sens de variation de l'une je dois prouver le sens de variation de l'autre.Pour Un+1 par ex, j'ai cherché Un+2 et g reussi à prouver qu'elle était croissante et donc positive car le premier terme est 3... Par contre, pour Vn+1 je n'y arrive pas, si quelqu'un pouvait m'aider.

Pour la 2, j'ai reussi à la prouver, c'était assez simple.

La 3a)je ne vois pas comment on arrive à ce résultat...

le b) g reussi le raisonnement par recurence
le c) g mis que oui la suite converge car 1/2 appartient à l'intervalle ]-1;1] et que donc que wn converge vers 0 ms j'y crois pas trop
le 4 : si j'arrive à prouver ke vn est decroissante dans la premiere kestion, il me reste plus k'a trouvé ke lim(Vn-Un)=0

le 5, avec la calculatrice, je trouve kom limite commune 0.38 et kk...ms impossible à prouver

Voila, si kk'un pouvez me donner quelques pistes Merci d'avance

[Monsieur23]

Pour la question 1, tu n'as pas besoin de prouver que les suites sont croissantes, et caetera ...

Tu peux utiliser un raisonnement par récurrence qui sera assez simple ( Multiplier ou ajouter deux nombres strictement positifs donne un nombre strictement positif :) )

Mr.23

[Monsieur23]

Et pour la question 3, je tenterai une petite récurrence aussi ...

c) g mis que oui la suite converge car 1/2 appartient à l'intervalle ]-1;1] et que donc que wn converge vers 0 ms j'y crois pas trop

Si, c'est bon, tu devrais juste citer le nom du théorème, et bien expliquer que 1/2^(n-1) -> 0 quand n->infini

Mr.23